（1）计算：（-3）²-|-2|+（-1）⁰+2cos30°；
（2）化简：

x2-2x

x

÷（x-

4

x

）．

马航MH370航班于2014年3月8日凌晨与地面失去了联系，至今尚未找到有关马航MH370的任何消息．我国在第一时间派出了飞机和船只进行寻找．如图，某日在马航MH370失联的附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B正在执行搜索任务，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻在海监船A的东北方向，B的北偏东15°方向的我国渔政执法船C侦测到了疑似物品，上级命令B船马上前去支援，已知B船的速度是30海里/小时，求B船到达C船的时间是多少．（结果保留根号）

先化简，再求值：
（1）(

2x

x-3

-

x

x+3

)•

x2-9

x

，x=2；
（2）（

x

x2-2x+1

+

1

1-x

）÷

2

x2-1

，x=-2．

如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点D，交过点A的直线于点E，且∠E=∠BAC．
（1）求证：AE是圆O的切线；
（2）若BC=6，CD=4，求AE的长．

对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足-M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．
（1）分别判断函数 y=

1

x

（x＞0）和y=x+1（-4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；
（2）若函数y=-x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；
（3）将函数 y=x²（-1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足

3

4

≤t≤1？

如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4-x于C、D两点．抛物线y=ax²+bx+c经过O、C、D三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．

数学问题：计算

1

m

+

1

m2

+

1

m3

+…+

1

mn

（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为

1

2

；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为

1

2

+

1

22

；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

，最后空白部分的面积是

1

2n

．
根据第n次分割图可得等式：

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=1-

1

2n

．

探究二：计算

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为

2

3

；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为

2

3

+

2

32

；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为

2

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

，最后空白部分的面积是

1

3n

．
根据第n次分割图可得等式：

2

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

=1-

1

3n

，
两边同除以2，得

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

=

1

2

-

1

2×3n

．

探究三：计算

1

4

+

1

42

+

1

43

+…+

1

4n

．
（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）

解决问题：计算

1

m

+

1

m2

+

1

m3

+…+

1

mn

．
（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）
根据第n次分割图可得等式：，
所以，

1

m

+

1

m2

+

1

m3

+…+

1

mn

=．
拓广应用：计算 

5-1

5

+

52-1

52

+

53-1

53

+…+

5n-1

5n

．

去年4月，我市开展了“海南历史文化进课堂”的活动，某校政教处就同学们对海南历史文化的了解程度进行随机抽样调查，并绘制成了如图1，图2两幅不完整的统计图．

根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是，调查中“了解很少”的学生人数占被调查学生人数的百分比为；
（2）补全条形统计图；
（3）若全校共有学生6000人，那么该校约有多少名学生“很了解”海南的历史文化？

（1）计算：(-2)2+

12

-|-3|-4cos30°；
（2）化简：（x+1）²+x（x-2）．

如图，点A是⊙O上一点，OA⊥AB，且OA=1，AB=

3

，OB交⊙O于点D，作AC⊥OB，垂足为M，并交⊙O于点C，连接BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）过点B作BP⊥OB，交OA的延长线于点P，连接PD，求sin∠BPD的值．