题目内容
对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足-M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数 y=
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| x |
（2）若函数y=-x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；
（3）将函数 y=x2（-1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足
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考点：二次函数综合题
专题：代数综合题,压轴题
分析：（1）根据有界函数的定义和函数的边界值的定义进行答题；
（2）根据函数的增减性、边界值确定a=-1；然后由“函数的最大值也是2”来求b的取值范围；
（3）需要分类讨论：m＜1和m≥1两种情况．由函数解析式得到该函数图象过点（-1，1）、（0，0），根据平移的性质得到这两点平移后的坐标分别是（-1，1-m）、（0，-m）；最后由函数边界值的定义列出不等式
≤1-m≤1或-1≤-m≤-
，易求m取值范围：0≤m≤
或
≤m≤1．
（2）根据函数的增减性、边界值确定a=-1；然后由“函数的最大值也是2”来求b的取值范围；
（3）需要分类讨论：m＜1和m≥1两种情况．由函数解析式得到该函数图象过点（-1，1）、（0，0），根据平移的性质得到这两点平移后的坐标分别是（-1，1-m）、（0，-m）；最后由函数边界值的定义列出不等式
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解答：解：（1）根据有界函数的定义知，函数y=
（x＞0）不是有界函数．
y=x+1（-4≤x≤2）是有界函数．边界值为：2+1=3；
（2）∵函数y=-x+1的图象是y随x的增大而减小，
∴当x=a时，y=-a+1=2，则a=-1
当x=b时，y=-b+1．则
，
∴-1＜b≤3；
（3）若m＞1，函数向下平移m个单位后，x=0时，函数值小于-1，此时函数的边界t＞1，与题意不符，故m≤1．
当x=-1时，y=1 即过点（-1，1）
当x=0时，y最小=0，即过点（0，0），
都向下平移m个单位，则
（-1，1-m）、（0，-m）
≤1-m≤1或-1≤-m≤-
，
∴0≤m≤
或
≤m≤1．
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| x |
y=x+1（-4≤x≤2）是有界函数．边界值为：2+1=3；
（2）∵函数y=-x+1的图象是y随x的增大而减小，
∴当x=a时，y=-a+1=2，则a=-1
当x=b时，y=-b+1．则
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∴-1＜b≤3；
（3）若m＞1，函数向下平移m个单位后，x=0时，函数值小于-1，此时函数的边界t＞1，与题意不符，故m≤1．
当x=-1时，y=1 即过点（-1，1）
当x=0时，y最小=0，即过点（0，0），
都向下平移m个单位，则
（-1，1-m）、（0，-m）
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∴0≤m≤
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点评：本题考查了二次函数综合题型．掌握“有界函数”和“有界函数的边界值”的定义是解题的关键．
练习册系列答案
浙大优学小学年级衔接捷径浙江大学出版社系列答案
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