Question

如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点D，交过点A的直线于点E，且∠E=∠BAC．
（1）求证：AE是圆O的切线；
（2）若BC=6，CD=4，求AE的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）要证AE是圆O的切线只要证明∠EAO=90°即可；
（2）由两组角对应相等的两个三角形相似可得到△EOA∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例可得到AE的长．

解答：（1）证明：∵AB为圆O的直径，
∴∠BCA=90°．
又∵BC∥OE，
∴OE⊥AC，
∴∠E+∠DAE=90°．
∵∠E=∠BAC，
∴∠BAC+∠DAE=90°，即∠EAO=90°，
∴AE是圆O的切线；

（2）解：∵BC∥OD，
∴△AOD∽△ABC，
∵BA=2AO，
∴

AD

AC

=

AO

AB

=

1

2

，
又CD=4，
∴AC=2CD=8．
在Rt△ABC中，∵∠BCA=90°，
∴AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10．
在△EOA与△ABC中，

∠E=∠BAC ∠EAO=∠ACB=90°

，
∴△EOA∽△ABC，
∴

AE

AC

=

OA

BC

即

AE

8

=

5

6

，
∴AE=

20

3

．

点评：此题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．同时考查了相似三角形的判定与性质，难度适中．