现有一副直角三角板(角度分别为30°.60°.90°和45°.45°.90°).如图1所示.其中一块三角板的直角边AC⊥数轴.AC的中点过数轴原点O.AC=6.斜边AB交数轴于点G.点G对应数轴上的数是3,另一块三角板的直角边AE交数轴于点F.斜边AD交数轴于点H．(1)如果点H对应的数轴上的数是-1.点F对应的数轴上的数是-3.则△AGH的面积是6.△AHF的面积是3,(2)如图2.设� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．现有一副直角三角板（角度分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°），如图1所示，其中一块三角板的直角边AC⊥数轴，AC的中点过数轴原点O，AC=6，斜边AB交数轴于点G，点G对应数轴上的数是3；另一块三角板的直角边AE交数轴于点F，斜边AD交数轴于点H．
（1）如果点H对应的数轴上的数是-1，点F对应的数轴上的数是-3，则△AGH的面积是6，△AHF的面积是3；
（2）如图2，设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，若∠M=26°，求∠HAO的大小；
（3）如图2，设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，设∠EFH的平分线和∠FOC的平分线交于点N，设∠HAO=x°（0＜x＜60），试探索∠N+∠M的和是否为定值，若不是，请说明理由；若是定值，请直接写出此值．

分析（1）根据题意得出△AOG是等腰直角三角形，OG=3，OH=1，OF=3，得出OA=OG=3，GH=4，FH=2，由三角形面积公式即可得出结果；
（2）由∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M得到∠FHM=$\frac{1}{2}$∠FHA，∠HGM=$\frac{1}{2}$∠HGA，根据三角形外角性质得∠FHM=∠M+∠HGM，∠FHA=∠HGA+∠HAG，
则2∠M+2∠HGM=∠HGA+∠HAG，得出∠M=$\frac{1}{2}$∠HAG=$\frac{1}{2}$（∠HAO+∠OAG）=$\frac{1}{2}$∠HAO+22.5°，即可得出结果；
（3）与（2）证明方法一样可得到∠N=90°-$\frac{1}{2}$∠FAO=90°-$\frac{1}{2}$∠FAH-$\frac{1}{2}$∠OAH=90°-15°-$\frac{1}{2}$∠OAH=75°-$\frac{1}{2}$∠OAH，加上∠M=$\frac{1}{2}$∠OAH+22.5°，即可得出结果．

解答解：（1）根据题意得：△AOG是等腰直角三角形，OG=3，OH=1，OF=3，
∴OA=OG=3，GH=3+1=4，FH=3-1=2，
∴△AGH的面积=$\frac{1}{2}$GH×OA=$\frac{1}{2}$×4×3=6，△AHF的面积=$\frac{1}{2}$FH•OA=$\frac{1}{2}$×2×3=3；
故答案为：6，3；
（2）∵∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，
∴∠FHM=$\frac{1}{2}$∠FHA，∠HGM=$\frac{1}{2}$∠HGA，
∵∠FHM=∠M+∠HGM，∠FHA=∠HGA+∠HAG，
∴2∠M+2∠HGM=∠HGA+∠HAG，
∴∠M=$\frac{1}{2}$∠HAG=$\frac{1}{2}$（∠HAO+∠OAG）=$\frac{1}{2}$∠HAO+22.5°，
∴∠HAO=2∠M-45°=2×26°-45°=7°；
（3）∠N+∠M=97.5°，为定值；理由如下：
∵∠EFH的平分线和∠FOC的平分线交于点N，
∴∠N=90°-$\frac{1}{2}$∠FAO=90°-$\frac{1}{2}$∠FAH-$\frac{1}{2}$∠OAH=90°-15°-$\frac{1}{2}$∠OAH=75°-$\frac{1}{2}$∠OAH，
∵∠M=$\frac{1}{2}$∠OAH+22.5°，
∴∠M+∠N=97.5°．

点评本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质、角平分线定义、三角形面积的计算等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质和三角形内角和定理是解决问题的关键．