Question

【题目】在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．

（1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于　　　　　　，线段CE1的长等于　　　　　　；（直接填写结果）

（2）如图2，当α=135°时，求证：BD1=CE1，且BD1⊥CE1.

Answer 1

【答案】（1）2； 2；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD1的长和CE1的长；

（2）根据旋转的性质得出，∠D1AB=∠E1AC=135°，进而求出△D1AB≌△E1AC（SAS），即可得出答案.

试题解析：（1）∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，

∴AE=AD=2，

∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），

∴当α=90°时，AE1=2，∠E1AE=90°，

∴BD1=，E1C=；

（2）证明：当α=135°时，如图2，

∵Rt△AD1E是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到，

∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135°，

在△D1AB和△E1AC中

∵，

∴△D1AB≌△E1AC（SAS），

∴BD1=CE1，且∠D1BA=∠E1CA，

记直线BD1与AC交于点F，

∴∠BFA=∠CFP，

∴∠CPF=∠FAB=90°，

∴BD1⊥CE1.