Question

【题目】已知二次函数的图象经过点A（﹣3，6）、B（m，0）、C（3，0），并且m＜3，D为抛物线的顶点．

（1）求b，c，m的值；

（2）设点P是线段OC上一点，点O是坐标原点，且满足∠PDC=∠BAC，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）b=﹣1，c=﹣，m=﹣1；（2）P点坐标为（，0）．

【解析】试题分析：

（1）把点A、C的坐标代入列出关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可得到b、c的值；再把所得b、c的值和点B的坐标代入即可求得m的值；

（2）由可得抛物线顶点的坐标为D（1，-2），对称轴为直线；设抛物线对称轴和x轴交于点E，过点A（-3，6）作AF⊥x轴于点F，则易证△AFC和△DEC都是等腰直角三角形，从而可得∠PCD=∠ACB结合∠PDC=∠BAC，

△ABC∽△DPC，由此可解出PC的值，即可求得OP的值，从而可得点P的坐标.

试题解析：

（1）把A（﹣3，6）、C（3，0）代入解析式得： ，解得 ，

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣，

当y=0，则x2﹣x﹣=0，解得，x1=3，x2=﹣1，

∵m＜3，

∴m=﹣1，

∴ b=﹣1，c=﹣，m=﹣1；

（2）由可得抛物线顶点的坐标为D（1，-2），对称轴为直线，

设抛物线对称轴和x轴交于点E，过点A（-3，6）作AF⊥x轴于点F，

则DE=2，DC=OC-OD=2，AF=6，FC=3-(-3)=6，

∴DE=DC，AF=FC，

∴△AFC和△DEC都是等腰直角三角形，

∴∠PCD=∠ACB=45°，AC=，DC=，

∵∠PDC=∠BAC，

∴△ABC∽△DPC，

∴，

∴BCDC=ACPC，即，

解得：PC=，则OP=，

所以P点坐标为．