已知:在△ABC中.AC=BC.∠ACB=90°.过点C作CD⊥AB于点D.点E是AB边上一动点.连接CE.过点B作CE的垂线交直线CE于点F.交直线CD于点G．(1)求证:AE=CG,(2)若点E运动到线段BD上时.试猜想AE.CG的数量关系是否发生变化.请直接写出你的结论,(3)过点A作AH垂直于直线CE.垂足为点H.并交CD的延长线于点M.找出图中与BE相等的线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于点D，点E是AB边上一动点（不含端点A、B），连接CE，过点B作CE的垂线交直线CE于点F，交直线CD于点G（如图①）．
（1）求证：AE=CG；
（2）若点E运动到线段BD上时（如图②），试猜想AE、CG的数量关系是否发生变化，请直接写出你的结论；
（3）过点A作AH垂直于直线CE，垂足为点H，并交CD的延长线于点M（如图③），找出图中与BE相等的线段，并证明．

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）如图①，根据等腰直角三角形的性质可以得出∠BCD=∠ACD=45°，根据直角三角形的三角形的性质就可以得出∠CBF=∠ACE，由ASA就可以得出△BCG≌△CAE，就可以得出结论；
（2）如图②，根据等腰直角三角形的性质可以得出∠BCD=∠ACD=45°，根据直角三角形的三角形的性质就可以得出∠CBF=∠ACE，由ASA就可以得出△BCG≌△CAE，就可以得出结论；
（3）如图③，根据等腰直角三角形的性质可以得出∠BCD=∠ACD=45°，根据直角三角形的三角形的性质就可以得出∠CBF=∠ACE，由ASA就可以得出△BCG≌△CAE，就可以得出结论；

解答：解：（1）∵AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB．
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠A=45°，∠ACE+∠BCE=90°．
∵BF⊥CE，
∴∠BFC=90°，
∴∠CBF+∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠CBF
∵在RT△ABC中，CD⊥AB，AC=BC，
∴∠BCD=∠ACD=45°
∴∠A=∠BCD．
在△BCG和△ACE中

∠BCD=∠A

BC=CA

∠CBF=∠ACE

，
∴△BCG≌△ACE（ASA），
∴AE=CG；
（2）不变．AE=CG．
理由：∵AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB．
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠A=45°，∠ACE+∠BCE=90°．
∵BF⊥CE，
∴∠BFC=90°，
∴∠CBF+∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠CBF
∵在RT△ABC中，CD⊥AB，AC=BC，
∴∠BCD=∠ACD=45°
∴∠A=∠BCD．
在△BCG和△ACE中

∠BCD=∠A

BC=CA

∠CBF=∠ACE

，
∴△BCG≌△ACE（ASA），

∴AE=CG；
（3）BE=CM，
：∵AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB．
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠A=45°，∠ACE+∠BCE=90°．
∵AH⊥CE，
∴∠AHC=90°，
∴∠HAC+∠ACE=90°，
∴∠BCE=∠HAC．
∵在RT△ABC中，CD⊥AB，AC=BC，
∴∠BCD=∠ACD=45°
∴∠ACD=∠ABC．
在△BCE和△CAM中

∠BCE=∠CMA

BC=CA

∠CBE=∠ACM

，
∴△BCE≌△CAM（ASA），
∴BE=CM．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，线段垂直平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．