Question

【题目】如图，在中，，点在边（不包括端点）过三点的交AB于另一点连结且于点过点作交于点连结．

（1）求证：四边形是菱形．

（2）当时，求的直径长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）通过证明≌，，，即可证明四边形是菱形；

（2）由菱形的性质可知，EF∥BC，，根据，结合勾股定理可求AB与BC长，易证△AED≌△ACD，得AE=AC，则可求BE长，再根据，求出ED，即可求出的直径长．

解：（1）证明：∵过A、C、D三点，且∠ACB=90°，

∴AD为的直径，

∵，

∴，，

∵，

∴，

∴在与中，

，

∴≌，

∴，，

∴四边形为菱形；

（2）由（1）知四边形为菱形，

∴EF∥BC，，

∵∠ACB=90°，

∴，

∴，

∴，

由（1）知ED=CD，

∴D为CE弧的中点，

∴∠DAE=∠DAC，

∴△AED≌△ACD，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．