如图.抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A.B两点.与y轴相交于C点.顶点为D．(1)求A.B两点的坐标,(2)连接BC.与抛物线的对称轴交于点E.点P为线段BC上的一个动点.过点P作PF⊥x轴.交抛物线于点F．设P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PF的长,②当m为何值时.四边形PEDF为平行四边形.请说明理由③当m为何值时.△PCF为直角三角形.直接写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于C点，顶点为D．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，交抛物线于点F．设P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PF的长；
②当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形，请说明理由
③当m为何值时，△PCF为直角三角形，直接写出结论．

分析（1）令抛物线解析式中y=0，得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（2）①令抛物线解析式中x=0求出y值，即可得出点C的坐标，结合点B、C的坐标利用待定系数法求出直线BC的解析式，再由点P的横坐标为m找出点F、P的坐标，由此即可得出结论；
②利用配方法求出抛物线的对称轴以及顶点D的坐标，根据点D坐标即可得出点E坐标以及线段DE的长度，再根据平行四边形的性质可得出DE=PF，由此可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论；
③由PF⊥x轴可得出若要△PCF为直角三角形，则∠CFP=90°或∠PCF=90°．当∠CFP=90°时，可得出点C、F关于对称轴对称，根据点C的坐标以及抛物线对称轴的解析式即可得出m值；当∠PCF=90°时结合点B、C的坐标可得出△PCF为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得出关于m的方程，解之即可得出m的值．综上即可得出结论．

解答解：（1）令y=-x²+2x+3中y=0，
则有-x²+2x+3=（3-x）（x+1）=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∵点A在点B的左侧，
∴点A（-1，0），点B（3，0）．
（2）①令y=-x²+2x+3中x=0，则y=3，
∴点C（0，3）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B（3，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+b}\\{3=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-x+3．
∵点P的横坐标为m，PF⊥x轴，
∴点P（m，-m+3），F（m，-m²+2m+3），
∴PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m（0≤m≤3）．
②∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点D（1，4），
将x=1代入y=-x+3中，得：y=2，
∴点E（1，2），
∴DE=4-2=2．
∵四边形PEDF为平行四边形，
∴DE=PF，即2=-m²+3m，
解得：m₁=1（舍去），m₂=2，
∴当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．
③∵PF⊥x轴，
∴∠CPF＜90°，
若要△PCF为直角三角形，则∠CFP=90°或∠PCF=90°．
（i）当∠CFP=90°时，
∵PF⊥x轴，∠CFP=90°，
∴CF∥x轴，
∴点C、F关于对称轴对称，
∵点C（0，3），抛物线对称轴为x=1，
∴m=2；
（ii）当∠PCF=90°时，
∵点B（3，0），点C（0，3），∠PCF=90°，
∴∠CPF=∠OCB=45°，
∴△PCF为等腰直角三角形，
∴PF=$\sqrt{2}$CP=-m²+3m=2m，
解得：m=1或m=0（舍去）．
综上所述：当m为1或2时，△PCF为直角三角形．

点评本题考查了解一元二次方程、待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是：（1）解关于x的一元二次方程；（2）①求出直线BC的解析式；②根据平行四边形的性质找出关于m的一元二次方程；③根据二次函数的对称性（等腰直角三角形的性质）解决问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用一次（或二次）函数图象上点的坐标特征找出点的坐标是关键．