题目内容
3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=4，CD=6，AB=10．点P从点B匀速向点A运动，速度为2个单位/秒．过点P作直线BC的垂线PE，E为垂足，直线PE将梯形ABCD分成两部分．（1）∠A=60°；
（2）将左下部分以PE为对称轴向上翻折．若两部分重合的面积为S，试求出S与运动时间t之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，若B点的对应点为B′，在整过运动过程中，是否存在以点D、P、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）过点D做DD′⊥AB与点D′，过点C做CC′⊥AB与点C′，证出三角形全等，得出AD′的长度，由角的余弦值可得出∠A的值；
（2）重合部分的面积，可分三种情况考虑，根据t的取值不同，分类讨论；
（3）寻找3个角分别为直角的情况，根据边角关系，找出时间t的值．
解答 解：（1）过点D做DD′⊥AB与点D′，过点C做CC′⊥AB与点C′，如图1，
∵ABCD为等腰梯形，
∴∠A=∠B，AD=BC，
在△ADD′和△BCC′中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B}\\{∠AD′D=∠BC′C=90°}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADD′≌△BCC′（AAS），
∴AD′=BC′，
∴AD′=（AB-CD）÷2=（10-6）÷2=2，
∴cos∠A=$\frac{AD′}{AD}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A=60°．
故答案为：60．
（2）令B点的对应点为B′，由翻转的特性可知，PB=PB′，
又∵∠B=∠A=60°，
∴△BPB′为等边三角形，
∴∠BPB′=60°=∠A，PB=BB′=PB′
∴AD∥PB′，
从而得知，上翻重合图形只有三种情况．
①点B′在线段BC上，如图2，
此时PB=BB′≤BC，即2t≤4，解得t≤2．
∵△BPB′为等边三角形，且PE⊥BB′，
∴PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PB=$\sqrt{3}$t，BE=$\frac{1}{2}$PB=t．
两部分重合的面积S=$\frac{1}{2}$•PE•BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t2．
②点B′在BC的延长线上，点E在线段BC上，如图3，令PB′与CD的交点为O，
此时有BC＜PB≤2BC，即4＜2t≤8，解得2＜t≤4．
∵△BPB′为等边三角形，且CD∥AB（梯形上下底平行），
∴△B′OC为等边三角形，
∴PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PB=$\sqrt{3}$t，BE=$\frac{1}{2}$PB=t，B′C=BB′-BC=2t-4．
两部分重合的面积S=$\frac{1}{2}$PE•BE-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$B′C×$\frac{\sqrt{3}}{2}$B′C=2$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$．
③点E在线段BE的延长线上，如图4，令PB′与CD的交点为O，PE与CD的交点为O′，
此时有2BC＜PB≤AB，即8＜2t≤10，解得4＜t≤5．
同②相比，③重合的面积中要多一个△ECO′，
∵CD∥AB，
∴△ECO′∽△EBP，
又∵BE=t，CE=BE-BC=t-4，PE=$\sqrt{3}$t，
∴O′E=$\frac{CE}{BE}$•PE=$\sqrt{3}$t-4$\sqrt{3}$．
两部分重合的面积S=2$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$•O′E•CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t2-2$\sqrt{3}$t+6$\sqrt{3}$．
综合①②③可得：两部分重合的面积S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}（0≤t≤2）}\\{2\sqrt{3}t-2\sqrt{3}（2＜2≤4）}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}-2\sqrt{3}t+6\sqrt{3}（4＜t≤5）}\end{array}\right.$．
（3）若要三角形DB′P为直角三角形，可分别考虑三个角分别为直角的情况．
①∠DB′P为直角时，过D作DD1⊥BC与D1，如图5，
∵CD∥AB，∠B=60°，
∴∠DCD1=60°，
DD1=CD•sin∠DCD1=3$\sqrt{3}$，CD1=CD•cos∠DCD1=3．
∠DB′D1=180°-∠PB′B-∠DB′P=30°，
∴B′D1=$\frac{D{D}_{1}}{tan∠DB′{D}_{1}}$=9，
∵BD1=BC+CD1=4+3=7＜9，
∴此种情况不存在，即∠DB′P不能为直角．
②∠DPB′为直角时，如①图5，
∵AD∥PB′，∠DPB′=90°，
∴∠ADP=90°（两直线平行，内错角相等）．
AP=$\frac{AD}{cos∠A}$=$\frac{4}{\frac{1}{2}}$=8，
PB=AB-AP=10-8=2t，
∴t=1秒．
③延长AD，延长BC交AD的延长线与点A′，过B作BM⊥AA′于点M，BM交PB′于点M′，过D作DN⊥PB′，连接DM′．如图6．
∵∠A=∠B=60°，
∴△ACA′为等边三角形，
又∵BM⊥AA′于点M，
∴AM=$\frac{1}{2}$AA′=$\frac{1}{2}$AB=5．
∵△PBB′也是等边三角形，
∴PM′=B′M′，即M′为线段PB′的中点．
∵AA′∥BB′，BM⊥AA′，DN⊥PB′，
∴四边形DMM′N为矩形，
∴NM′=DM=AM-AD=5-4=1，DN=MM′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（AB-PB）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（10-2t）=5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t．
∵∠PDB′=90°，
∴DM′=$\frac{1}{2}$PB′=$\frac{1}{2}$PB=t．
由勾股定理可知：DM′2=DN2+NM′2，即t2=1+${（5\sqrt{3}-\sqrt{3}t）}^{2}$，
解得t=$\frac{15-\sqrt{73}}{2}$秒，或t=$\frac{15+\sqrt{73}}{2}$秒＞5秒（舍去）．
综合①②③可得：在整过运动过程中，存在以点D、P、B′为顶点的三角形为直角三角形，t的值为1秒和$\frac{15-\sqrt{73}}{2}$秒．
点评 本题考查了等边三角形的判定和性质、等腰梯形的判定和性质以及矩形的判定及性质，解题的关键是：（1）找出三角形全等；（2）考虑B′和E点的位置，位置不同，重合图形不同，面积不同；（3）尝试以三个角分别为直角，通过边角关系，即可得出结论．
如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点D．
如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P在直线OB上运动且满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C．点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，则PA：PC=（ ）| A． | $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$ | B． | $\frac{{\sqrt{15}}}{3}$ | C． | $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$或$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$ | D． | 以上都不对 |
如图所示，请找出图中所有的互为同旁内角的角．
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，FD⊥ED，延长ED到点P．使ED=PD，连结FP与CP，试判断BE+CF与EF的大小关系．