Question

9．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点D．
（1）如果∠ABC+∠ACB=130°，那么∠BDC=115°；
（2）如果∠A=50°，那么∠BDC=115°=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（3）如果∠A=n°，那么∠BDC=90°+$\frac{1}{2}$n°．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线定义得出∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，求出∠DBC+∠DCB=65°，代入∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）求出即可；
（2）由（1）知，∠BDC=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），而∠A=∠ABC+∠ACB，代入可得；
（3）由（2）知∠BDC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，代入可得．

解答 解：（1）∵BD平分∠ABC、CD平分∠ACB，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=130°，
∴在△BDC中，∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=115°；
（2）由（1）知，
∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
当∠A=50°时，∠BDC=115°；
（3）由（2）知，当∠A=n°时，∠BDC=90°+$\frac{1}{2}$n°．
故答案为：（1）115°，（2）115°，$\frac{1}{2}$∠A，（3）90°+$\frac{1}{2}$n°．

点评 本题主要考查角平分线定义和三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．