Question

8．如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P在直线OB上运动且满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C．点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，则PA：PC=（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{15}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$或$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$
• D． 以上都不对

Answer 1

分析 可分点P在线段OB的延长线上及其反向延长线上两种情况进行讨论．易证PA：PC=PN：PM，设OA=x，只需用含x的代数式表示出PN、PM的长，即可求出PA：PC的值．

解答 解：①若点P在线段OB的延长线上，
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，
PM与直线AC的交点为F，如图1所示．

∵∠APN=∠CPM，∠ANP=∠CMP，
∴△ANP∽△CMP．
∴$\frac{PA}{PC}=\frac{PN}{PM}$．
∵∠ACE=∠AEC，
∴AC=AE．
∵AP⊥PC，
∴EP=CP．
∵PM∥y轴，
∴AF=CF，OM=CM．
∴FM=$\frac{1}{2}$OA．
设OA=x，
∵PF∥OA，
∴△PDF∽△ODA．
∴$\frac{PF}{OA}=\frac{PD}{OD}$，
∵PD=2OD，
∴PF=2OA=2x，FM=$\frac{1}{2}$x．
∴PM=$\frac{5}{2}$x．
∵∠APC=90°，AF=CF，
∴AC=2PF=4x．
∵∠AOC=90°，
∴OC=$\sqrt{15}$x．
∵∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°，
∴四边形PMON是矩形．
∴PN=OM=$\frac{\sqrt{15}}{2}$x．
∴PA：PC=PN：PM=$\frac{\sqrt{15}}{2}x$：$\frac{5}{2}$x=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
②若点P在线段OB的反向延长线上，
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，
PM与直线AC的交点为F，如图2所示．

同理可得：PM=$\frac{3}{2}$x，CA=2PF=4x，OC=$\sqrt{15}$x．
∴PN=OM=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{\sqrt{15}}{2}$x．
∴PA：PC=PN：PM=$\frac{\sqrt{15}}{2}$x：$\frac{3}{2}$x=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
综上所述：PA：PC的值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$或$\frac{\sqrt{15}}{3}$；
故选：C．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练运用相似判定与性质是关键．