Question

11．如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为E，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，且OA=3，BE=2．
（1）求CD的长；
（2）求BF的长．

Answer 1

分析 （1）连结OC，由题意可知OC=3，OE=1，然后在Rt△OCE中，依据勾股定理可求得CE的长，结合垂径定理可求得CD的长；
（2）由切线的性质可知BF⊥AB，则DC∥BF，从而可证明△AED∽△ABF，从而可求得BF的长．

解答 解：（1）连结OC．

∵⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为E，
∴CE=ED．
∵OA=3，BE=2，
∴OC=3，OE=1，
∴CE=2$\sqrt{2}$．
∴CD=4$\sqrt{2}$．
（2）∵BF为⊙O的切线，
∴AB⊥BF，
∵CD⊥AB，
∴DC∥BF，
∴△AED∽△ABF，
∴$\frac{ED}{BF}$=$\frac{AE}{AB}$，即$\frac{2\sqrt{2}}{BF}$=$\frac{4}{6}$，
∴BF=3$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是切线的性质、垂径定理、勾股定理的应用，熟练掌握相关定理是解题的关键．