题目内容
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+x+$\frac{3}{2}$与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，求△ACE的面积的最大值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
分析 （1）如图1中，作DH⊥AB于H，首先求出点A坐标，由OC∥DH，得$\frac{AC}{CD}$=$\frac{OA}{OH}$=$\frac{1}{4}$，由OA=1，推出OH=4，推出D（4，-$\frac{5}{2}$），再利用待定系数法求出直线l的解析式即可．
（2）如图2中，连接EA、EC，作EK∥OC交AD于K，设E（m，-$\frac{1}{2}$m2+m+$\frac{3}{2}$），则K（m，-$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$），EK=-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{3}{2}$m+2．根据S△ACE=S△AEK-S△CEK，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
（3）存在．如图3中，当AD为矩形的对角线时，设对角线的交点为N．P（1，b）．根据题意PN=AN=DN=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，可得方程（$\frac{5\sqrt{5}}{4}$）2=（1-$\frac{3}{2}$）2+（b+$\frac{5}{4}$）2，求出点P坐标，再利用中点坐标公式，求出点Q坐标，检验点Q是否在抛物线上，即可解决问题．
解答 解：（1）如图1中，作DH⊥AB于H．
对于抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+x+$\frac{3}{2}$，令y=0，得-$\frac{1}{2}$x2+x+$\frac{3}{2}$=0，解得x=-1或3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵OC∥DH，
∴$\frac{AC}{CD}$=$\frac{OA}{OH}$=$\frac{1}{4}$，∵OA=1，
∴OH=4，
∴D（4，-$\frac{5}{2}$），
设直线AD的解析式为y=kx+b则有$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{4k+b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线l的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$．
（2）如图2中，连接EA、EC，作EK∥OC交AD于K，设E（m，-$\frac{1}{2}$m2+m+$\frac{3}{2}$），则K（m，-$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$），EK=-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{3}{2}$m+2．
∵S△ACE=S△AEK-S△CEK=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{3}{2}$m+2）×（m+1）-$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{3}{2}$m+2）×m=-$\frac{1}{4}$m2+$\frac{3}{4}$m+1=-$\frac{1}{4}$（m-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{25}{16}$，
∵-$\frac{1}{4}$＜0，
∴m=$\frac{3}{2}$时，△ACE的面积最大，最大值为$\frac{25}{16}$．
（3）存在．如图3中，当AD为矩形的对角线时，设对角线的交点为N．P（1，b）．
∵A（-1，0），D（4，-$\frac{5}{2}$），
∴N（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$），AD=$\sqrt{{5}^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
∵∠APD=90°，
∴PN=AN=DN=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，
∴（$\frac{5\sqrt{5}}{4}$）2=（1-$\frac{3}{2}$）2+（b+$\frac{5}{4}$）2，
解得b=-4或$\frac{3}{2}$（不合题意舍弃），
∴P（1，-4），
∵PN=NQ，AN=ND，
∴Q（2，$\frac{3}{2}$），
对于抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+x+$\frac{3}{2}$，
∵x=2时，y=$\frac{3}{2}$，
∴点Q（2，$\frac{3}{2}$）在抛物线上，
∴以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，此时点P坐标（1，-4）．
点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、矩形的判定和性质，中点坐标公式、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为E，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，且OA=3，BE=2．
如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△ADE：S四边形BCFD的值为（ ）| A． | 1：3 | B． | 2：3 | C． | 2：5 | D． | 1：4 |
在45°的Rt△ABC中，∠A=90°，DE⊥BC，BD是∠ABC的平分线，且BD=13，AB=12，则△DEC的周长为（ ）| A． | 10$\sqrt{2}$ | B． | 5+$\sqrt{2}$ | C． | 10+$\sqrt{2}$ | D． | 17 |