Question

10．已知实数x，y满足：x⁴+x²=3，$\frac{4}{{y}^{4}}$+$\frac{2}{{y}^{2}}$=3，则x⁴+$\frac{4}{{y}^{4}}$=7．

Answer 1

分析 把已知条件变形得到4（$\frac{1}{{y}^{2}}$）²+2•$\frac{1}{{y}^{2}}$-3=0，x⁴+x²-3=0，则x²和$\frac{1}{{y}^{2}}$可看作方程t²+t-3=0的两根，根据根与系数的关系得到x²+$\frac{1}{{y}^{2}}$=-1，x²•$\frac{1}{{y}^{2}}$=-3，再利用完全批发公司变形得到x⁴+$\frac{4}{{y}^{4}}$=（x²+$\frac{1}{{y}^{2}}$）²-2x²•$\frac{1}{{y}^{2}}$，然后利用整体代入的方法计算．

解答 解：∵$\frac{4}{{y}^{4}}$+$\frac{2}{{y}^{2}}$=3，
∴4（$\frac{1}{{y}^{2}}$）²+2•$\frac{1}{{y}^{2}}$-3=0，
而x⁴+x²-3=0，
∴x²和$\frac{1}{{y}^{2}}$可看作方程t²+t-3=0的两根，
∴x²+$\frac{1}{{y}^{2}}$=-1，x²•$\frac{1}{{y}^{2}}$=-3，
∴x⁴+$\frac{4}{{y}^{4}}$=（x²+$\frac{1}{{y}^{2}}$）²-2x²•$\frac{1}{{y}^{2}}$=1-2×（-3）=7．
故答案为7．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．