Question

10．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①abc＜0；②4ac-b²＜0；③4a-2b+c=0；④am²+bm＜a-b（m≠-1），其中正确结论有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 首先根据抛物线向下开口，可得a＜0；再根据对称轴在y轴左边，可得a与b同号，所以b＜0；再根据抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，可得c＞0，所以abc＞0；然后根据二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象的顶点的纵坐标大于0，可得$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}＞0$，a＜0，所以4ac-b²＜0；最后根据对称轴是x=-1，可得x=-2、0时，y的值相等，所以4a-2b+c=c＞0；再根据二次函数y=ax²+bx+c的最大值是a-b+c，可得am²+bm+c＜a-b+c（m≠-1），所以am²+bm＜a-b（m≠-1），据此判断即可．

解答 解：∵抛物线向下开口，
∴a＜0；
∵对称轴在y轴左边，
∴a与b同号，
∵a＜0，
∴b＜0；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0，
∵a＜0，b＜0，c＞0，
∴abc＞0，①错误；
∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象的顶点的纵坐标大于0，
∴$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}＞0$，a＜0，
∴4ac-b²＜0，②正确；
∵二次函数的对称轴是x=-1，
∴x=-2、0时，y的值相等，
∴4a-2b+c=c＞0，③错误；
∵x=-1时，y=ax²+bx+c的最大值是a-b+c，
∴am²+bm+c＜a-b+c（m≠-1），
∴am²+bm＜a-b（m≠-1），④正确．
综上，可得
正确结论有2个：②、④．
故选：B．

点评 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．