题目内容
5．已知在△ABC中，满足∠ACB=2∠B，（1）如图1，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上取一点E使得AE=AC，连接DE，求证：AB=AC+CD．
（2）如图2，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
分析 （1）由AD为∠BAC的角平分线，得到∠EAD=∠CAD，通过△AED≌△ACD，得到ED=CD，∠AED=∠ACD=90°，由于∠ACB=90°，∠ACB=2∠B，得到∠B=45°，∠BDE=45°，∠B=∠BDE，根据等腰三角形的性质得到EB=ED，于是得到结论；
（2）如图2，在AB上截取AE=AC，连接ED，由AD为∠BAC的角平分线时，得到∠BAD=∠CAD，通过△AED≌△ACD得到∠AED=∠C，ED=CD，由已知得到∠B=∠EDB，根据等腰三角形的性质得到EB=ED，即可得解；
（3）如图3，在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，由AD为∠BAC的角平分线时，得到∠BAD=∠CAD，通过△AED≌△ACD得到∠AED=∠C，ED=CD，由已知得到∠B=∠EDB，根据等腰三角形的性质得到EB=ED，即可得解．
解答 
证明：（1）∵AD为∠BAC的角平分线
∴∠EAD=∠CAD，
在△AED与△ACD中，
$\left\{{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}}\right.$，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴ED=CD，∠AED=∠ACD=90°，
又∵∠ACB=90°，∠ACB=2∠B，
∴∠B=45°，
∴∠BDE=45°，
∴∠B=∠BDE，
∴EB=ED，
∴EB=CD，
∴AB=AE+EB=AC+CD； 
（2）结论：还成立．
理由：如图2，在AB上截取AE=AC，连接ED，
∵AD为∠BAC的角平分线时，
∴∠BAD=∠CAD，
在△AED与△ACD中，
$\left\{{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}}\right.$，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠AED=∠C，ED=CD，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠AED=∠B+∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴EB=ED，
∴EB=CD，
∴AB=AE+EB=AC+CD；
（3）猜想：AB+AC=CD．
证明：如图，在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED．
∵AD平分∠FAC，
∴∠EAD=∠CAD，
在△AED与△ACD中，
$\left\{{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}}\right.$，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴ED=CD，∠AED=∠ACD，
∴∠FED=∠ACB，
又∵∠ACB=2∠B，
∴∠FED=2∠B，
又∵∠FED=∠B+∠EDB，
∴∠EDB=∠B，
∴EB=ED，
∴EA+AB=EB=ED=CD，
∴AC+AB=CD．
点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
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