根据垂直定理解答下列问题:(1)如图①.在弓形ABC中.弓形高CD=2米.弦AB=12米.求弓形所在的圆的半径．(2)如图②中.作直径AC.BD.使得AC⊥BD.连接AB.BC.CD.DA.则四边形ABCD的形状是正方形,(3)在途②中.作直径A′C′⊥AB于点E.交CD于点F.作直径B′D′⊥BC于点G.交AD于H.求证:八边形AA′BB′CC′DD′是正八边形,(4)在图②中.直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．根据垂直定理解答下列问题：
（1）如图①，在弓形ABC中，弓形高CD=2米，弦AB=12米，求弓形所在的圆的半径．
（2）如图②中，作直径AC、BD，使得AC⊥BD，连接AB、BC、CD、DA，则四边形ABCD的形状是正方形；
（3）在途②中，作直径A′C′⊥AB于点E，交CD于点F，作直径B′D′⊥BC于点G，交AD于H，求证：八边形AA′BB′CC′DD′是正八边形；
（4）在图②中，直径A′C′将弓形AA′B分成面积相等的两部分，请你将图③中弓形的面积分成相等的四部分，只说作法，不说理由．

分析（1）由垂径定理得AD=6，再利用勾股定理求得半径；
（2）由圆周角定理得∠BAD=∠BCD=∠ADC=∠ABC=90°，由垂直平分线定理得AD=CD，证得结论；
（3）由平行线性质得，A′C′⊥CD，B′D′⊥AD，由垂径定理得AE=BE，CF=DF，AH=DH，BG=CG，易得AA′=BA′，CC′=DC′，AD′=DD′，BB′=CB′，利用全等三角形的判定和性质得AA′=BA′=CC′=DC′=AD′=DD′=BB′=CB′，得出结论；
（4）利用已知的结论和垂径定理作答．

解答解：（1）设弓形所在的圆的半径为x，则OD=x-2，
∵AB=12，CD⊥AB，
∴AD=6，
∴6²+（x-2）²=x²，
解得：x=10，
∴弓形所在的圆的半径为10米；

（2）∵AC、BD为直径，
∴∠BAD=∠BCD=∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，
∴四边形ABCD为正方形，
故答案为：正方形；

（3）∵直径A′C′⊥AB，直径B′D′⊥BC，
∴A′C′⊥CD，B′D′⊥AD，
∴AE=BE，CF=DF，AH=DH，BG=CG，
∴AA′=BA′，CC′=DC′，AD′=DD′，BB′=CB′，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OD}\\{∠D′OD=∠C′OD=45°}\\{OD′=OC′}\end{array}\right.$，
∴△ODD′≌△ODC′（SAS），
∴DD′=DC′，
同理证得：AD′=AA′，A′B=B′B，C′C=B′C，
∴AA′=BA′=CC′=DC′=AD′=DD′=BB′=CB′，
∴八边形AA′BB′CC′DD′是正八边形；

（4）作垂直于弦的直径交弓于点A，
连接BA，CA，再作OM⊥BA交弓于M，
ON⊥CA交弓于N，
则M，A，N把弓分成面积相等的四部分．