题目内容
15．已知⊙O及⊙O外一点P，过点P作出⊙O的一条切线（只有圆规和三角板这两种工具），以下是甲、乙两同学的作业：
甲：①连接OP，作OP的垂直平分线l，交OP于点A；
②以点A为圆心、OA为半径画弧、交⊙O于点M；
③作直线PM，则直线PM即为所求（如图1）．
乙：①让直角三角板的一条直角边始终经过点P；
②调整直角三角板的位置，让它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在⊙O上，记这时直角顶点的位置为点M；
③作直线PM，则直线PM即为所求（如图2）．
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
| A． | 甲乙都对 | B． | 甲乙都不对 | C． | 甲对，乙不对 | D． | 甲不对，已对 |
分析 （1）连接OM，OA，连接OP，作OP的垂直平分线l可得OA=MA=OP，进而得到∠O=∠AMO，∠AMP=∠MPA，所以∠OMA+∠AMP=∠O+∠MPA=90°，得出MP是⊙O的切线，
（2）直角三角板的一条直角边始终经过点P，它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在⊙O上，所以∠OMP=90°，得到MP是⊙O的切线．
解答 
证明：（1）如图1，连接OM，OA，
∵连接OP，作OP的垂直平分线l，交OP于点A；
∴OA=OP，
∵以点A为圆心、OA为半径画弧、交⊙O于点M；
∴OA=MA=OP，
∴∠O=∠AMO，∠AMP=∠MPA，
∴∠OMA+∠AMP=∠O+∠MPA=90°
∴OM⊥MP，
∴MP是⊙O的切线，
（2）如图2
∵直角三角板的一条直角边始终经过点P，它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在⊙O上，
∴∠OMP=90°，
∴MP是⊙O的切线．
故两位同学的作法都正确，
故选：A．
点评 本题主要考查了复杂的作图，重点是运用切线的判定来说明作法的正确性．
练习册系列答案
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20．
如图，AB是半径为R的⊙O内接正n边形的边长，则阴影部分的面积为（ ）
如图，AB是半径为R的⊙O内接正n边形的边长，则阴影部分的面积为（ ）| A． | $\frac{π{R}^{2}}{n}$-$\frac{1}{2}$R2sin$\frac{360°}{n}$ | B． | $\frac{π{R}^{2}}{n}$-$\frac{1}{2}$R2sin$\frac{180°}{n}$ | ||
| C． | $\frac{2π{R}^{2}}{n}$-$\frac{1}{2}$R2sin$\frac{360°}{n}$ | D． | $\frac{2π{R}^{2}}{n}$-$\frac{1}{2}$R2sin$\frac{180°}{n}$ |
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