Question

20．如图，AB是半径为R的⊙O内接正n边形的边长，则阴影部分的面积为（　　）

• A． $\frac{π{R}^{2}}{n}$-$\frac{1}{2}$R²sin$\frac{360°}{n}$
• B． $\frac{π{R}^{2}}{n}$-$\frac{1}{2}$R²sin$\frac{180°}{n}$
• C． $\frac{2π{R}^{2}}{n}$-$\frac{1}{2}$R²sin$\frac{360°}{n}$
• D． $\frac{2π{R}^{2}}{n}$-$\frac{1}{2}$R²sin$\frac{180°}{n}$

Answer 1

分析 首先连接OA，OB，过点O作OC⊥AB于点C，由AB是半径为R的⊙O内接正n边形的边长，利用三角形函数的性质，可求得△OAB的面积，继而求得扇形OAB的面积，即可求得答案．

解答 解：连接OA，OB，过点O作OC⊥AB于点C，
则∠AOB=$\frac{360°}{n}$，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{180°}{n}$，
∴OC=OA•cos∠AOC=R•cos$\frac{180°}{n}$，AC=OC•sin∠AOC=R•sin$\frac{180°}{n}$，
∴AB=2AC=2Rsin$\frac{180°}{n}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×R•cos$\frac{180°}{n}$×2Rsin$\frac{180°}{n}$=$\frac{1}{2}$R²sin$\frac{360°}{n}$，
∵S_扇形OAB=$\frac{π{R}^{2}}{n}$，
∴S_阴影=$\frac{π{R}^{2}}{n}$-$\frac{1}{2}$R²sin$\frac{360°}{n}$．
故选A．

点评 此题考查了正多边形与圆的知识以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．