题目内容
1．若分别以△ABC的AC、BC两边为边向外侧作正方形ACDE和正方形BCFG，则称这两个正方形为外展双叶正方形．（1）发现：如图1，当∠C=90°时，△ABC与△DCF的面积相等．（请在横线上填写“相等”或“不等”）
（2）引申：如果∠C≠90°时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）运用：如图3，分别以△ABC的三边为边向外侧作的正方形ACDE、BCFG和ABMN，则称这三个正方形为外展三叶正方形．已知△ABC中，AC=4，BC=5．运用（2）中的结论，当∠ACB为何值时，图中阴影部分的面积和有最大值是？并求出最大值．
（4）拓展：如图4，分别以?ABCD的四条边为边向外侧作正方形ABFE，BCHG，CDJI，DALK，若?ABCD的周长为20，∠DAB=60°，运用（2）的结论，图中阴影部分的面积和有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．
分析 （1）由正方形的性质可以得出AC=DC，BC=FC，∠ACB=∠DCF=90°，即可得出△ABC≌△DFC而得出结论；
（2）如图3，过点A作AP⊥BC于点P，过点D作DQ⊥FC交FC的延长线于点Q，通过证明△APC≌△DQC就有DQ=AP而得出结论；
（3）根据（1）可以得出S=3S△ABC，要使S最大，就要使S△ABC最大，当∠ACB=90°时S△ABC最大，即可求出结论，
（4）同（3）的方法即可得出结论．
解答 （1）证明：在△ABC与△DFC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACB=∠DCF}\\{BC=FC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DFC．
∴△ABC与△DFC的面积相等；
故答案为：相等；
（2）解：成立．理由如下：
如图，延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P；过点D作DQ⊥FC于点Q．
∴∠APC=∠DQC=90°．
∵四边形ACDE，BCFG均为正方形，
∴AC=CD，BC=CF，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，
∴∠ACP=∠DCQ．
∴$\left\{\begin{array}{l}{∠APC=∠DQC}\\{∠ACP=∠DCQ}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
△APC≌△DQC（AAS），
∴AP=DQ．
又∵S△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AP，S△DFC=$\frac{1}{2}$FC•DQ，
∴S△ABC=S△DFC；
（3）解：根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，
若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，
∴当△ABC是直角三角形，即∠C是90度时，阴影部分的面积和最大．
∴S阴影部分面积和=3S△ABC=3×$\frac{1}{2}$×4×5=30．
（4）解：过D作DN⊥AB于N，过E作EM⊥FA交FA延长线于M，连接AC，BD，
∵四边形ABGF和四边形ADLE是正方形，
∴AE=AD，AF=AB，∠FAB=∠EAD=90°，
∴∠EAF+∠BAD=360°-90°-90°=180°，
∵∠EAF+∠EAM=180°，
∴∠EAM=∠DAN，
∴sin∠EAM=$\frac{EM}{AE}$，sin∠DAN=$\frac{DN}{AD}$，
∵AE=AD，
∴EM=DN，
∵S△AEF=$\frac{1}{2}$AF×EM，S△ADB=$\frac{1}{2}$AB×DN，
∴S△AEF=S△ABD，
同理S△BHG=S△ABC，S△CIJ=S△CBD，S△DLK=S△DAC，
∴阴影部分的面积S=S△AEF+S△BGH+S△CIJ+S△DLK=2S平行四边形ABCD，
∵?ABCD的周长为20，∠DAB=60°，
设AD=x，则AB=10-x，
∴DN=ADsin∠BAD=x×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴S平行四边形ABCD=AB×DN=（10-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-5）2+$\frac{25\sqrt{3}}{2}$（0＜x＜10），
∴阴影部分的面积S=2S平行四边形ABCD=2[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-5）2+$\frac{25\sqrt{3}}{2}$]=-$\sqrt{3}$（x-5）2+25$\sqrt{3}$（0＜x＜10），
当x=5，即：AD=AB=5时，阴影部分的面积S最大=25$\sqrt{3}$．
点评 本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质、三角形的面积公式，平行四边形的性质，本题难度较大，综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键．
如图所示，△ABC≌△ADE，∠D和∠B是对应角，∠CAD=15°，∠B=35°，∠EAB=106°，求∠DFB和∠DGB的度数．
某中学为美化校园，准备在长32米，宽20米的长方形场地上修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与设计．小明同学方案如图，设计草坪的总面积为540平方米，求道路的宽．