题目内容
13．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为A（5，0），C（0，3）．射线y=kx交折线A-B-C于点P，点A关于OP的对称点为A′．（1）当点A′恰好在CB边上时，求CA′的长及k的值；
（2）若经过O、A、A′三点的抛物线恰好以A′为顶点，求k的值及该抛物线的解析式；
（3）如图2，当点P在AB边上，点A′在CB上方时，连接A′O、A′P分别交CB边于点E、F．是否存在实数k使△A′EF≌△BPF？若存在，求出k值；若不存在，说明理由；
（4）以OP为直径作⊙M，则⊙M与矩形OABC最多有6个公共点，直接写出公共点个数最多时k的取值范围．
分析 （1）如图1，连接OA′，AA′．设A′（x，3）．根据矩形的性质，点的坐标与图形的性质以及勾股定理求得CA′=4，然后结合A（5，0）求得AA′的中点D的坐标是（4.5，1.5），从而求得k的值；
（2）根据等边三角形的判定得出△A'OA是等边三角形，再得出抛物线解析式即可；
（3）根据全等三角形的对应边相等和对应角相等、勾股定理以及正切函数的定义来求k的值；
（4）根据题意，画出图形，根据图形回答问题．
解答 解：（1）当点A′恰好在CB边上时，连接A′O、A′P，如图1
∵OA′=OA=5，OC=3，
∴CA′=$\sqrt{OA{′}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{52-32}$=4
∴A′B=CB-CA′=5-4=1，
设PA=x，则A′P=PA=x，BP=3-x
在Rt△A′PB中，A′B2+BP2=A′P2
∴12+（3-x）2=x2，解得x=$\frac{5}{3}$，
∴P（5，$\frac{5}{3}$），
求得k=$\frac{1}{3}$；
（2）连接A'O，A'P，A'A，设A'A交射线OP于点D，如图2：
则OP垂直平分A'A，
∵经过O，A，A'三点的抛物线恰好以A‘为顶点，
∴由抛物线的对称性可知A'O=A'A=2A'D，
∴∠A'OD=30°，
∴∠AOD=∠A'OD=30°，
∴PA=$\frac{\sqrt{3}}{3}OA=60°$，
∴△A'OA是等边三角形，
∴点A'的坐标为$（\frac{5}{2}，\frac{5\sqrt{3}}{2}）$，
设抛物线的解析式为$y=a（x-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
把O（0，0）代入上式，得$0=a（0-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
解得：a=-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$，
∴抛物线的解析式为$-\frac{2\sqrt{3}}{5}（x-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{5\sqrt{3}}{2}$；
（3）假设存在实数k，使△A′EF≌△BPF，如图3
∵∠A′=∠B=90°，∠A′FE=∠BFP
∴A′E=BP，A′F=BF
设A′E=BP=a，A′F=BF=b
则A′P=PA=3-a，EF=PF=3-a-b，OE=5-a
CE=5-（3-a-b）-b=2+a
在Rt△OCE中，OC2+CE2=OE2
∴32+（2+a）2=（5-a）2，解得a=$\frac{6}{7}$
∴PA=3-$\frac{6}{7}$=$\frac{15}{7}$，
∴P（5，$\frac{15}{7}$）
∴k=$\frac{3}{7}$；
（4）当点P在BC边上时，⊙M与矩形OABC有6个交点；
①当⊙M与BC相切于点D时，
∵MD⊥BC，
∴DE∥AB∥OC，
∴DE=OC=3，
∵M是OP的中点，
∴E是OA的中点，
∴ME=$\frac{1}{2}$PA，
设PA为x，则ME=$\frac{1}{2}x$，DM=$\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}\sqrt{{x}^{2}+{5}^{2}}$，
∵DM+ME=DE，
即$\frac{1}{2}\sqrt{{x}^{2}+{5}^{2}}+\frac{1}{2}x=3$，
解得：x=$\frac{11}{12}$，
∴P（5，$\frac{11}{12}$），
∴k=$\frac{11}{60}$；
②当⊙M与AB相切于点E时，
设CP为x，则DM=$\frac{1}{2}x$，ME=$\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$，
∵DM+ME=DE，
即$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}=5$，
解得：x=$\frac{91}{20}$，
∴P（$\frac{91}{20}$，3），
∴k=$\frac{60}{91}$；
又∵当点P与点B重合时，⊙M经过O，A，B，C四点，此时k=$\frac{3}{5}$，
故可得：如图4：
当0＜k＜$\frac{11}{60}$时，有4个共同点，
k=$\frac{11}{60}$或$\frac{60}{91}$时，有5个共同点，
k=$\frac{3}{5}$时，有4个共同点，
故最多有6个交点，k的取值范围是：$\frac{11}{60}$＜k＜$\frac{60}{91}$且k≠$\frac{3}{5}$．
故答案为：6．
点评 本题考查了二次函数综合题以及全等三角形的性质和圆的综合等知识，利用特殊位置求出k的取值范围进而得出答案．
长江作业本同步练习册系列答案
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在边AB上，CE与AD交于点G，点F是CE的中点，点G是EF的中点．求证：AE=$\frac{1}{2}$BE．| 与60元的售价偏差（元） | -15 | -12 | -8 | 0 | +4 | +5 | +7 |
| 件数（件） | 1 | 3 | 5 | 4 | 4 | 2 | 1 |
（2）该服装店在售完这20件T恤衫后，赚了多少元钱．
| A． | 当c=0时，函数的图象经过原点 | |
| B． | 当b=0时，函数的图象关于y轴对称 | |
| C． | 若函数的图象过点A（1，2），B（7，2），则它的对称轴为直线x=3 | |
| D． | 当c＞0且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根 |
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②c-a＞0；③a-2b+4c＞0；④m（am+b）+b＜a（m≠-1），其中正确的结论的个数是（ ）