己知在△ABC和△ABD中.∠DAB=∠ABC=90°.DA=AB=BC=6$\sqrt{2}$cm.P为线段BD上一动点.以每秒1cm的速度从B匀速运动到D.过P作直线PQ⊥AP.且PQ=AP.直线PQ交AC于点M．设点P运动时间为t(s)．(1)当点Q与点C重合时.t=0s当点Q与点D重合时.t=6s,(2)当∠PAC=30°时.求t的值．(3)设CM=y.求y与t� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．己知在△ABC和△ABD中，∠DAB=∠ABC=90°，DA=AB=BC=6$\sqrt{2}$cm，P为线段BD上一动点，以每秒1cm的速度从B匀速运动到D，过P作直线PQ⊥AP，且PQ=AP，直线PQ交AC于点M．设点P运动时间为t（s）．
（1）当点Q与点C重合时，t=0s当点Q与点D重合时，t=6s；
（2）当∠PAC=30°时，求t的值．
（3）设CM=y，求y与t的函数关系式；并直接写出当0≤t≤9时点M运动的路径长．
（4）点P在整个运动的过程中，△ABQ的面积会改变吗？请说明理由．如果不变，并请求出它的值．

分析（1）根据图象确定点P位置即可解决问题．
（2）分两种情形①点P在OB上，②点P在OD上时求出OP即可解决问题．
（3）分两种情形①如图4中，当点P在OB上时，②如图5中，当点P在OD上时，CM的路径分两段求出开始6s的路径，后3s的路径即可解决问题．
（4）△ABQ的面积不变，分两种情形证明即可①当点P在OB上时，如图6中，作QH⊥BD于H，根据S_△ABQ=S_△ABP+S_△QBP+S_△APQ计算即可．
②当点P在OD上时，如图7中，作QH⊥BD于H，根据S_△ABQ=S_△ABP+S_△APQ-S_△QBP计算即可．

解答解：（1）如图1中，AC由BD交于点O，
∵∠DAB=∠ABC=90°，DA=AB=BC=6$\sqrt{2}$cm，
∵∠BAC=∠ABD=45°，
∴OA=OB=OD=6，

当Q与C重合时，点P与B重合，此时t=0．
当点Q与D重合时，点P与O重合，此时t=6．
故答案为0s，6s．

（2）①如图2中，当点P在OB上时，

∵∠PAO=30°，∠AOP=90°，OA=6，
∴PO=OA•tan30°=2$\sqrt{3}$，
∴PB=6-2$\sqrt{3}$，
∴t=6-2$\sqrt{3}$
②如图3中，当P在OD上时，

易知OP=2$\sqrt{3}$，BP=6+2$\sqrt{3}$，此时t=6+2$\sqrt{3}$．
综上所述，t=（6-2$\sqrt{3}$）s或（6+2$\sqrt{3}$）s时，∠PAC=30°．

（3）①如图4中，当点P在OB上时，

∵△AOP∽△APM，
∴$\frac{AP}{AM}$=$\frac{OA}{AP}$，
∴AP²=OA•AM，
∴（6-t）²+6²=6（12-y），
∴y=-$\frac{1}{6}$t²+2t．
②如图5中，当点P在OD上时，

同法由PA²=AO•AM，
∴6²+（t-6）²=6（12-y），
∴y=-$\frac{1}{6}$t²+2t．
综上所述，y=-$\frac{1}{6}$t²+2t，（0≤t≤12），
∵y=-$\frac{1}{6}$（t-6）²+6，
∴t=6时，y的最大值为6，
又∵t=9时，y=4.5，
∴此时OM=1.5，
∴0≤t≤9时，CM运动的路径为6+1.5=7.5cm．

（4）结论：S_△ABQ的值不变．理由如下：
①当点P在OB上时，如图6中，作QH⊥BD于H．

∵AP=PQ，∠APO=∠PQH，∠AOP=∠PHQ，
∴△APO≌△PQH，
∴QH=OP=6-t，
∴S_△ABQ=S_△ABP+S_△QBP+S_△APQ=$\frac{1}{2}$•t•6+$\frac{1}{2}$•t•（6-t）+$\frac{1}{2}$[6²+（6-t）²]=36．

②当点P在OD上时，如图7中，作QH⊥BD于H．

同理可证QH=OP=t-6，
S_△ABQ=S_△ABP+S_△APQ-S_△QBP=$\frac{1}{2}$•t•6+$\frac{1}{2}$•t•（t-6）-$\frac{1}{2}$[6²+（t-6）²]=36．
∴△ABQ的面积为定值．