如图.在平面直角坐标系中.一次函数y=ax+b与反比例函数y=$\frac{k}{x}$交于A.B两点.与x轴.y轴分别交于C.D两点.连接OA.OB．若OA=2$\sqrt{13}$.sin∠AOC=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$.点B的坐标为(1)求反比例函数和一次函数的解析式,(2)连接OB.若点P是y轴上一点.且△BOP是以OB为腰的等腰三角形.请直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0且x＞0）交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点，连接OA、OB．若OA=2$\sqrt{13}$，sin∠AOC=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，点B的坐标为（m，-8）
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接OB，若点P是y轴上一点，且△BOP是以OB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

分析（1）由条件可先求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式，则可求得B点坐标，再把A、B两点坐标代入一次函数解析式可求得答案；
（2）设P点坐标为（0，y），由B点坐标可求得OB的长，则可得到OP=OB或OB=BP，可得到关于y的方程，可求得y的值，可求得P点坐标．

解答解：
（1）过A作AE⊥y轴于点E，如图，

∵OA=2$\sqrt{13}$，sin∠AOC=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，
∴$\frac{AE}{OA}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，即$\frac{AE}{2\sqrt{13}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，解得AE=4，
∴AE=$\sqrt{O{A}^{2}-A{E}^{2}}$=6，
∴A（6，-4），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0且x＞0）过A点，
∴k=-4×6=-24，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{24}{x}$，
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0且x＞0）经过B点，
∴-8m=-24，解得m=3，
∴B（3，-8），
∵一次函数y=ax+b（a≠0）过A、B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6a+b=-4}\\{3a+b=-8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{3}}\\{b=-12}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y=$\frac{4}{3}$x-12；
（2）∵B（3，-8），
∴OB=$\sqrt{{3}^{2}+（-8）^{2}}$=$\sqrt{73}$，
设P点坐标为（0，y），则OP=|y|，PB=$\sqrt{{3}^{2}+（y+8）^{2}}$，
∵△BOP是以OB为腰的等腰三角形，
∴OP=OB或PB=OB，
当OP=OB时，则有|y|=$\sqrt{73}$，解得y=±$\sqrt{73}$，
此时P点坐标为（0，$\sqrt{73}$）或（0，-$\sqrt{73}$）；
当PB=OB时，则有$\sqrt{{3}^{2}+（y+8）^{2}}$=$\sqrt{73}$，解得y=-16或y=0（舍去），
此时P点坐标为（0，-16），
综上可知满足条件的点P的坐标为（0，$\sqrt{73}$）或（0，-$\sqrt{73}$）或（0，-16）．