Question

2．把两块含45°角的直角三角板按图1所示的方式放置，点D在BC上，连结BE、AD，AD的延长线交BE于点F．
（1）如图1，求证：BE=AD，AF⊥BE；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转（如图2），连结BE、AD，AD分别交BE、BC于点F、G，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由SAS判定△ECB≌△DCA，根据全等三角形的性质可知：对应边相等AD=BE、对应角相等∠BEC=∠ADC；加上已知条件来求∠AFE=90°即可；
（2）成立，利用已知条件可证明△BCE≌△ACD（SAS），由全等三角形的性质以及已知条件证明即可证明BE=AD，AF⊥BE．

解答 （1）证明：在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=DC}\\{∠BCE=∠ACD=90°}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD，∠EBC=∠CAD，
在Rt△ACD中，
∵∠CDA+∠CAD=90°，∠BDF=∠CDA
∴∠BDF+∠DBF=90°，
即：AF⊥BE；
（2）成立，理由如下：
在△BCE和△ACD中，
∵∠BCE=∠ACD=90°，
∴∠DCE+∠DCB=∠ACB+∠BCD，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=DC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD，∠EBC=∠CAD，
在Rt△ACG中，
∵∠CGA+∠CAG=90°，∠BGF=∠CGA．
∴∠BGF+∠GBF=90°，
即：AF⊥BE．

点评 本题考查了旋转的性质以及全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．