Question

2．如图1，已知抛物线y=ax²-2ax-3a交x轴于A、B两点（点B在点A右边），交y轴负半轴于点C．
（1）求直线BC的解析式（用含a的式子表示；
（2）点P在第四象限的抛物线上，且S_△PBC最大值为$\frac{27}{16}$，求a的值；
（3）如图2，点M在y轴正半轴上，过M作EF∥BC交抛物线于E、F两点，点F在点E的右侧，求$\frac{BC}{MF-ME}$的值．

Answer 1

分析 （1）先求出B、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，设P（m，am²-2am-3a）．构建二次函数，利用二次函数的性质，列出方程即可解决问题．
（3）如图2中，作EH⊥y轴于H，FG⊥EH交EH的延长线于G．不妨设直线EF的解析式为y=ax+b，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=ax+b}\\{y=a{x}^{2}-2ax-3a}\end{array}\right.$消去y得到ax²-3ax-3a-b=0，推出x₁+x₂=-$\frac{-3a}{a}$=3，推出HG-EH=3，由HM∥GF，推出$\frac{MF}{ME}$=$\frac{HG}{HE}$，推出$\frac{MF+ME}{MF-ME}$=$\frac{HG+EG}{HG-HE}$，推出$\frac{EF}{EG}$=$\frac{MF-ME}{HG-EH}$，由△OBC∽△GEF，推出$\frac{OB}{EG}$=$\frac{BC}{EF}$，推出$\frac{EF}{EG}$=$\frac{BC}{OB}$，推出$\frac{BC}{OB}$=$\frac{MF-ME}{HG-EH}$，推出$\frac{BC}{MF-ME}$=$\frac{OB}{HG-EH}$=$\frac{3}{3}$=1．

解答 解：（1）对于抛物线y=ax²-2ax-3a，令y=0，则有ax²-2ax-3a=0，解得x=-1或3，
∴A（-1，0），B（3，0），
令x=0，得到y=-3a，
∴C（0，-3a），
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=-3a}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=a}\\{b=-3a}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=ax-3a．

（2）如图1中，设P（m，am²-2am-3a）．

∵S_△PBC=S_△POC+S_△POB-S_△BCO=$\frac{1}{2}$×3×（-am²+2am+3a）+$\frac{1}{2}$×3a×m-$\frac{1}{2}$×3×3a
=-$\frac{3}{2}$am²+$\frac{3}{2}$am，
由题意，$\frac{-（\frac{3}{2}\\;a）^{2}}{4（-\frac{3}{2}a）}$=$\frac{27}{16}$，
解得a=$\frac{9}{2}$．

（3）如图2中，作EH⊥y轴于H，FG⊥EH交EH的延长线于G．

∵直线BC的解析式为y=ax-3a，EF∥BC，
不妨设直线EF的解析式为y=ax+b，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=ax+b}\\{y=a{x}^{2}-2ax-3a}\end{array}\right.$消去y得到ax²-3ax-3a-b=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{-3a}{a}$=3，
∴HG-EH=3，
∵HM∥GF，
∴$\frac{MF}{ME}$=$\frac{HG}{HE}$，
∴$\frac{MF+ME}{MF-ME}$=$\frac{HG+EG}{HG-HE}$，
∴$\frac{EF}{EG}$=$\frac{MF-ME}{HG-EH}$，
易证△OBC∽△GEF，
∴$\frac{OB}{EG}$=$\frac{BC}{EF}$，
∴$\frac{EF}{EG}$=$\frac{BC}{OB}$，
∴$\frac{BC}{OB}$=$\frac{MF-ME}{HG-EH}$，
∴$\frac{BC}{MF-ME}$=$\frac{OB}{HG-EH}$=$\frac{3}{3}$=1．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、最值问题、相似三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系，比例的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．