Question

7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°，
①四边形ACED是平行四边形；
②△BCE是等腰三角形；
③四边形ACEB的周长是10+2$\sqrt{13}$；
④四边形ACEB的面积是16．
则以上结论正确的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 证明AC∥DE，再由条件CE∥AD可证明四边形ACED是平行四边形；根据线段的垂直平分线证明AE=EB可得△BCE是等腰三角形；首先利用三角函数计算出AD=4，CD=2$\sqrt{3}$，再算出AB长可得四边形ACEB的周长是10+2$\sqrt{13}$，利用△ACB和△CBE的面积和可得四边形ACEB的面积．

解答 解：①∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴∠ACD=∠CDE=90°，
∴AC∥DE，
∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形，故①正确；
②∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EC=EB，
∴△BCE是等腰三角形，故②正确；
③∵AC=2，∠ADC=30°，
∴AD=4，CD=2$\sqrt{3}$，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴CE=AD=4，
∵CE=EB，
∴EB=4，DB=2$\sqrt{3}$，
∴CB=4$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴四边形ACEB的周长是10+2$\sqrt{13}$故③正确；
④四边形ACEB的面积：$\frac{1}{2}$×2×4$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×2=8$\sqrt{3}$，故④错误，
故选：C．

点评 本题主要考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、特殊角三角函数、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．等腰三角形的判定方法，属于中考常考题型．