Question

20．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆，交BC边于点D，与AC边相切于点E．
（1）求证：BE平分∠ABC；
（2）若CD：BD=1：2，AC=4，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）由切线的性质可知OE⊥AC，从而可证明OE∥BC，由平行线的性质可知∠OEB=∠EBC，由OE=OB可知∠OEB=∠OBE，于是得到∠OBE=∠EBC；
（2）过O作OF⊥BC于点F，连接OD，OE．（2）如图2所示：过O作OF⊥BC于点F，连接OD，OE．由等腰三角形三线合一的性质可知：DF=BF，由CD：BD=1：2可知CD=DF=FB，然后根据由三角是直角的四边形为矩形可知四边形OECF为矩形，于是得到CF=EO，从而可证明△ODB为等边三角形，然后依据特殊锐角三角函数值可求得BC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，故此可求得CD=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$．

解答 （1）证明：连接OE．

∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE．
∵AC与⊙O相切，
∴OE⊥AC，即∠OEA=90°．
∴∠C=∠OEA=90°，
∴OE∥BC．
∴∠OEB=∠EBC．
∴∠OBE=∠EBC．
∴BE平分∠ABC．
（2）如图2所示：过O作OF⊥BC于点F，连接OD，OE．

∵OD=OB，OF⊥BD，
∴DF=BF．
∵CD：BD=1：2，
∴CD=DF=FB．
∵∠OEC=∠C=∠OFC=90°，
∴四边形OECF为矩形．
∴CF=EO．
∴OE=BD=OD=OB．
∴△ODB为等边三角形．
∴∠ABC=60°．
∵AC=4，
∴BC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴CD=$\frac{1}{3}$×BC=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题主要考查的是切线的性质、矩形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值，证得△ODB为等边三角形是解题的关键．