Question

7．如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，问：在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 先通过解方程x²-2x-3=0得到A（-1，0），B（3，0），再求自变量为0时的函数值得到C（0，-3），接着把解析式配成顶点式得到D（1，-4），抛物线的对称轴为直线x=1，作PH⊥CD于H，CE⊥直线x=1于E，如图，易得△CDE为等腰直角三角形，则∠CDE=45°，再判断△PHD为等腰直角三角形得到PH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PD，根据切线的判定方法，当PA=PB=PH时，以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，设此时P点坐标为（1，m），则PD=m+4，则PH²=$\frac{1}{2}$（m+4）²，而PA²=（1+1）²+m²，于是得到$\frac{1}{2}$（m+4）²=（1+1）²+m²，然后解方程求出m的值即可得到满足条件的P点坐标．

解答 解：存在．
当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=-3，则A（-1，0），B（3，0），
当x=0时，y=x²-2x-3=-3，则C（0，-3），
y=x²-2x-3=（x-1）²-4，则D（1，-4），抛物线的对称轴为直线x=1，
作PH⊥CD于H，CE⊥直线x=1于E，如图，
∵CE=1，DE=-3-（-4）=1，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=45°，
∴△PHD为等腰直角三角形，
当PA=PB=PH时，以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，
设此时P点坐标为（1，m），则PD=m+4，
∵PH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PD，
∴PH²=$\frac{1}{2}$（m+4）²，
而PA²=（1+1）²+m²，
∴$\frac{1}{2}$（m+4）²=（1+1）²+m²，
∴m=4-2$\sqrt{6}$或m=4+2$\sqrt{6}$（舍去），
∴满足条件的P点坐标为（1，4-2$\sqrt{6}$）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了切线的判定和等腰三角形的性质．