Question

12．如图，直线MN与x轴，y轴正半轴分别交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，直线y=x与直线MN交于点P，已知AC=10，OA=8．
（1）求P点坐标；
（2）作∠AOP的平分线OQ交直线MN与点Q，点E、F分别为射线OQ、OA上的动点，连结AE与EF，试探索AE+EF是否存在最小值？若存在，请直接写出这个最小值；若不存在请说明理由；
（3）在直线MN上存在点G，使以点G，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出G点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由AC与OA的长，利用勾股定理求出OC的长，确定出C坐标，利用待定系数法求出直线MN解析式，与y=x联立求出交点P坐标即可；
（2）作出相应的图形，如图1所示，作出A关于射线OQ的对称点A′，可得OA′=OA=8，过A′作A′F⊥OA，交射线OQ于点E，角射线OA于点F，此时A′E+EF=AE+EF存在最小值，求出即可；
（3）在直线MN上存在点G，使以点G，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况考虑：①PC=PB，此时P为线段BC垂直平分线与直线MN的交点；②PC=BC=8；③PB=BC=8，分别求出P坐标即可．

解答 解：（1）∵AC=10，OA=8，
∴OC=$\sqrt{A{C}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴C（0，6）；
设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0），
∵点A、C都在直线MN上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线MN的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+6，
∵P为y=-$\frac{3}{4}$x+6与直线y=x的交点．
∴-$\frac{3}{4}$x+6=x，
解得：x=$\frac{24}{7}$，
∴p的坐标为（$\frac{24}{7}$，$\frac{24}{7}$）；
（2）如图1所示：

作出A关于射线OQ的对称点A′，可得OA′=OA=8，过A′作A′F⊥OA，交射线OQ于点E，角射线OA于点F，
此时A′E+EF=AE+EF存在最小值，在Rt△A′OF中，∠A′OF=45°，
设A′F=OF=x，根据勾股定理得：x²+x²=8²，
解得：x=4$\sqrt{2}$，
则最小值为4$\sqrt{2}$；
（3）如图2所示：

∵A（8，0），C（0，6），
∴根据题意得：B（（8，6），
∵P在直线MN：y=-$\frac{3}{4}$x+6上，
∴设P（a，-$\frac{3}{4}$a+6），
在直线MN上存在点G，使以点G，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，
分三种情况考虑：
①当PC=PB时，P点为BC垂直平分线与MN交点，此时P₁（4，3）；
②当PC=BC=8时，根据两点间的距离公式得：a²+（-$\frac{3}{4}$a+6-6）²=64，
解得：a=±$\frac{32}{5}$，
此时P₂（-$\frac{32}{5}$，$\frac{54}{5}$），P₃（$\frac{32}{5}$，$\frac{6}{5}$）；
③当PB=BC=8时，根据两点间的距离公式得：（a-8）²+（-$\frac{3}{4}$a+6-6）²=64，
解得：a=$\frac{256}{25}$，可得-$\frac{3}{4}$a+6=-$\frac{42}{25}$，此时P₄（$\frac{256}{25}$，-$\frac{42}{25}$），
则符合条件的点P有：P₁（4，3），P₂（-$\frac{32}{5}$，$\frac{54}{5}$），P₃（$\frac{32}{5}$，$\frac{6}{5}$），P₄（$\frac{256}{25}$，-$\frac{42}{25}$）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，两点间的距离公式，待定系数法确定一次函数解析式，等腰三角形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．