题目内容
19．
如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC为锐角，AC=10cm，AB=15cm，按下列步骤折叠：第一次，过点A折叠，使C点落在AB边上，折痕交BC边于D点；第二次折叠，使点A与点D重合，折痕分别交AB、AC边于点E、F，展开后，连结DE、DF．（1）试判断四边形AEDF的形状一定是什么？并求四边形AEDF的周长；
（2）当AD=4EF时，在边AC上取点G，使点G绕点E旋转90°后落在折痕AD上，求$\frac{AG}{AF}$的值；
（3）当∠BAC=30°时，一只蚂蚁N从C点出发沿纸片爬向终点A，它在AB边上爬行的速度是1cm/s，而在其它地方爬行的速度是0.6cm/s，问这只蚂蚁N从点C爬向终点A的最短时间是多少？
分析 （1）首先根据翻折变换的性质，推得∠CAD=∠BAD，EF垂直平分AD；然后根据全等三角形判定的方法，推得△AFG≌△AEG，即可判断出FG=EG，所以AD和EF互相垂直平分，所以四边形AEDF是菱形；最后根据DF∥AB，求出DF的长度，进而求出四边形AEDF的周长是多少即可．
（2）分点G在线段AF上和线段FC上两种情况，先作出GM⊥EF，判断出△ENG≌△EON，由AD=4EF得到OA=4MG，再用比例式即可．
（3）先计算出在线段CA上爬行所用时间$\frac{50}{3}$s，再计算出再线段AB上爬行时间15s，由于BC＞15-10=5，所以，在线段CB上爬行的时间大于$\frac{25}{3}$，所以蚂蚁在线段CA上直接爬行到点A所以时间最短，即可．
解答 解：（1）如图1，连接DE、DF，AD、EF相交于点G，
，
∵沿着AD折叠，C点落在AB边上，
∴∠CAD=∠BAD，
∵沿着EF折叠时，点A与点D重合，
∴EF垂直平分AD，
在△AFG和△AEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAG=∠EAG}\\{AG=AG}\\{∠FGA=∠EGA}\end{array}\right.$
∴△AFG≌△AEG，
∴FG=EG，
∴AD和EF互相垂直平分，
∴四边形AEDF是菱形．
设DF=AF=xcm，
∵DF∥AB，
∴$\frac{x}{15}=\frac{10-x}{10}$，
解得x=6cm，
∴四边形AEDF的周长是：6×4=24（cm）．
（2）①点G在线段AF上，作GM⊥EF，如图2，
∴∠GME=90°，
∴∠MGE+∠MEG=90°，
由（1）四边形AEDF是菱形，
∴EF⊥AD，OE=OF，
∴∠EON=90°，
∴∠MEN+∠MEG=90°，
∴∠MGE=∠MEN，
∵EG=EN，
∴△ENG≌△EON，
∴MG=OE=OF，
∵AD=4EF，
∴OA=4OF=4MG，
∵GM∥OA，
∴$\frac{FG}{AF}=\frac{MG}{OA}$=$\frac{MG}{4MG}$=$\frac{1}{4}$，∴$\frac{AG}{AF}=\frac{3}{4}$．
②点G在线段FC上，作GM⊥EF，如图3，
同①的方法有，OA=4MG，
∴$\frac{FG}{AF}=\frac{MG}{AO}=\frac{MG}{4MG}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{AG}{AF}=\frac{5}{4}$．
（3）蚂蚁爬行的路径只有两种，第一种，在线段CA上，直接从点C爬行到点A，所用时间t=10÷0.6=$\frac{50}{3}$s，
第二种爬行路径，从点出发，在线段CB上从点C爬行到点B，再从点B爬行到点A，从点B爬行到点A所用时间t′=15÷1=15s，
在△ABC中，AB-AC＜BC，
∴BC＞5，
∴蚂蚁从点C爬行到点B是所用时间大于5÷0.6=$\frac{25}{3}$∴第二种爬行路径所用时间大于15+$\frac{25}{3}$=$\frac{70}{3}$s，
∵$\frac{70}{3}$＞$\frac{50}{3}$，
∴蚂蚁爬行的路径是第一种，在线段CA上，直接从点C爬行到点A，所用时间为$\frac{50}{3}$s．
点评 此题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定方法，相似三角形的性质，求出OA=4MG是解本题的关键，作辅助线是解本题的难点．
已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3．
| A． | （0，4） | B． | （2，0） | C． | （2，2） | D． | （0，-2） |
在平面直角坐标系xOy中，A，B两点在函数C1：y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的图象上，其中k1＞0，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，且AC=1．
如图，抛物线y=x2上的三点A、B、C的横坐标分别为a-d、a、a+d，试求△ABC的面积（用含有a，d的代数式表示）．