题目内容
14．将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．DF=8．（1）若P是BC上的一个动点，当PA=DF时，求此时∠PAB的度数；
（2）将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．
①求证：AD∥BF；
②若P是BC的中点，连接FP，将等腰直角三角板ABC绕点B继续旋转，当旋转角α=210°时，FP长度最大，最大值为16+4$\sqrt{3}$（直接写出答案即可）．
分析 （1）利用锐角三角函数求出∠APH，然后分两种情况计算即可；
（2）①作出AM⊥BC，DN⊥BC，得到AM∥DN，在计算出AM，DN，得到AM=DN，出现平行四边形AMND，②先判断出PF最大时，点P落在FB的延长线上，再求解即可．
解答 解：如图1，
D，
（1）作AH⊥BC于H，
∴AH=$\frac{1}{2}$BC，
∵DF=8，∠DEF=30°，
∴BC=DE=$\frac{DF}{tan∠DEF}$=8$\sqrt{3}$，
∴AH=4$\sqrt{3}$，
当PA=DF=8时，sin∠APH=$\frac{AH}{AP}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠APH=60°，
①∵∠ABC=45°，∠AP1H=60°，
∴∠BAP1=∠AP1H-∠ABC=15°，
②∵∠ACB=45°，∠AP2H=60°，
∴∠CAP2=∠AP2B-∠ACB=15°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAP2=90°-∠CAP2=75°；
∴∠PAB的度数为15°或75°；
（2）①如图2作AM⊥BC，DN⊥BC，
在Rt△ABC中，AB=AC，BC=8$\sqrt{3}$，
∴AM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
在Rt△BCF中，∠F=60°，DF=8，
∴DN=DF×sin∠F=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
∴AM=DN，
∵AM∥DN，
∴四边形AMND是平行四边形，
∴AD∥BC；
②∵P是BC的中点，且FP长度最大，则有点F，B，P在同一条直线上，
即：点P在FB的延长线上，
∴BC边旋转180°，
∵∠CDF=30°，
∴旋转角α=210°，
∵P是BC的中点，BC=8$\sqrt{3}$，
∴BP=4$\sqrt{3}$，
∵BF=2DF=16，
∴FP=16+4$\sqrt{3}$，
故答案为210°，16+4$\sqrt{3}$．
点评 此题是几何变换综合题，主要考查了锐角三角函数的定义，和特殊角的三角函数，平行四边形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数是解本题的关键，本题的难点是点P在何位置时，PF最大．
如图，A，B，C分别表示三个小岛上的点，点C在点A的北偏东80°方向，点B在点A的南偏东55°方向，且A，B两点的距离约为6km；同时点B在点C的南偏西50°方向．求A，C两点之间的距离．（结果精确到0.01km．参考数据：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732，$\sqrt{6}$≈2.449）
如图，圆的半径等于正三角形ABC的高，此圆在沿底边AB滚动，切点为T，圆交AC、BC于M、N，则对于所有可能的圆的位置而言，$\widehat{MTN}$的度数为（ ）| A． | 从30°到60°变动 | B． | 从60°到90°变动 | C． | 保持30°不变 | D． | 保持60°不变 |
如图，在边长为8的正方形ABCD中，P为AD上一点，且AP=5，BP的垂直平分线分别交AB、DC于E、F，点Q为垂足，则线段EQ：QF的值是$\frac{5}{11}$．
如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC为锐角，AC=10cm，AB=15cm，按下列步骤折叠：第一次，过点A折叠，使C点落在AB边上，折痕交BC边于D点；第二次折叠，使点A与点D重合，折痕分别交AB、AC边于点E、F，展开后，连结DE、DF．
如图所示，若有两个等边三角形的顶点P1、P2都在函数y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$（x＞0）的图象上，点A1、A2在x轴上，直接写出点P2的坐标．
如图，把边长为4的等边三角形OAB置于平面直角坐标系中，点O与坐标原点重合，OB在x轴的负半轴上，点A在第二象限，AC⊥x轴于点C．