Question

2．已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3．
问题1：如图，P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？

Answer 1

分析 四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，然后利用矩形的性质，设PB=x，可得方程x²+3²+（2-x）²+1=（2$\sqrt{2}$）²，由判别式△＜0，可知此方程无实数根，即对角线PQ，DC的长不可能相等．

解答 解：对角线PQ与DC不能相等，理由如下：
过点D作DE⊥BC于点E，
∵梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，
∴四边形ABED是矩形，
∴DE=AB=2，BE=AD=1，
∴CE=BC-BE=2，
∴DC=2$\sqrt{2}$，
∵四边形PCQD是平行四边形，
若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，
设PB=x，则AP=2-x，
在Rt△DPC中，PD²+PC²=DC²，即x²+3²+（2-x）²+1=（2$\sqrt{2}$）²，
化简得x²-2x+3=0，
∵△=（-2）²-4×1×3=-8＜0，
∴此方程无实数根，
∴即对角线PQ与DC不能相等．

点评 此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，注意准确作出辅助线是解此题的关键．