Question

11．在平面直角坐标系xOy中，A，B两点在函数C₁：y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的图象上，其中k₁＞0，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，且AC=1．
（1）若k₁=2，则AO的长为$\sqrt{5}$，△BOD的面积为1；
（2）若点B的横坐标为k₁，且k₁＞1，当AO=AB时，求k₁的值．

Answer 1

分析 （1）由点A的横坐标结合反比例函数的解析式可找出点A的坐标，从而得出AO的长度；再根据反比例函数系数k的几何意义可直接得出S_△BOD=$\frac{1}{2}$|k₁|，代入k₁值即可得出结论；
（2）将A、B点的横坐标代入反比例函数解析式中，可求出点A、B的坐标，结合两点间的距离公式以及AO=AB，即可得出关于k₁的一元二次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）当k₁=2，AC=1时，OC=k₁=2，
∴AO=$\sqrt{A{C}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
∵k₁=2，且S_△BOD=$\frac{1}{2}$|k₁|=$\frac{1}{2}$×2=1．
故答案为：$\sqrt{2}$；1．
（2）∵AC=1，且点A在函数C₁：y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的图象上，
∴A点的坐标为（1，k₁），
∴AO=$\sqrt{（1-0）^{2}+（{k}_{1}-0）^{2}}$=$\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$．
∵若点B的横坐标为k₁，且点B在函数C₁：y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的图象上，
∴B点的坐标为（k₁，1），
∴AB=$\sqrt{（{k}_{1}-1）^{2}+（1-{k}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{2}$|k₁-1|．
又∵AO=AB，即$\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{2}$|k₁-1|，
解得：k₁=2-$\sqrt{3}$，或k₁=2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）根据反比例函数系数k的几何意义直接求面积；（2）由两点间的距离公式得出关于k₁的方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，将点的横坐标代入函数解析式求出点的坐标后，再依据两点间的距离公式以及等量关系找出关于反比例系数k的方程，解方程即可．