如图.在平面直角坐标系内.点O为坐标原点.直线y=$\frac{1}{2}$x+1与抛物线y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c交于A.B两点.点A在x轴上.点B的横坐标为4．(1)求抛物线的解析式,(2)抛物线y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c 交x轴正半轴于点C.横坐标为t的点P在第四象限的抛物线上.过点P作AB的垂线交x轴于点E.点Q为垂足.设CE的长为d.求d与t之� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，直线y=$\frac{1}{2}$x+1与抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c 交x轴正半轴于点C，横坐标为t的点P在第四象限的抛物线上，过点P作AB的垂线交x轴于点E，点Q为垂足，设CE的长为d，求d与t之间的函数关系式，直接写出自变量t的取值范围：
（3）在（2）的条件下，过点B作y轴的平行线交x轴于点D，连接DQ．当∠AQD=3∠PQD时，求点P坐标．

分析（1）先求得点A和点B的坐标，将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求得b、c的值可得到抛物线的解析式；
（2）先求得点C的坐标，设点P的坐标为（t，$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t-3），EC的解析式为y=-2x+b，将点P的坐标代入可求得b的值，得到直线EC的解析式为y=-2x+$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t-3，接下来，求得点E的坐标，依据d=EC可得到d与t的函数关系是；
（3）过点D作CF⊥AB，垂足为F．先证明△QFD为等腰直角三角形，可得到QF=DF，由AB的解析式可知tan∠FAD=$\frac{1}{2}$，z则Q为AF的中点，故此E为AD的中点，则可得到EC的长，由d和t的函数关系是可得到t的值．

解答解：（1）令y=0得：$\frac{1}{2}$x+1=0，解得：x=-2，
∴点A（-2，0）．
将x=4代入得：y=$\frac{1}{2}$×4+1=3，
∴B（4，3）．
将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{2-2b+c=0}\\{8+4b+c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{1}{2}}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}x$-3．
（2）如图1所示：

令y=0得：0=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}x$-3，解得：x₁=-2，x₂=3，
∴点C的坐标为（3，0）．
设点P的坐标为（t，$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t-3）．
∵EC⊥AB，
∴设EC的解析式为y=-2x+b．
将点P的坐标代入得：-2t+b=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t-3，解得b=$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t-3．
设直线EC的解析式为y=-2x+$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t-3．
令y=0，得：2x+$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t-3=0，解得：x=$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{4}$t-$\frac{3}{2}$．
∴点E（$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{4}$t-$\frac{3}{2}$，0）．
∴EC=3-（$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{4}$t-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{4}$t²-$\frac{3}{4}$t+$\frac{9}{2}$．
∴d=-$\frac{1}{4}$t²-$\frac{3}{4}$t+$\frac{9}{2}$．
∵点P在第四象限，
∴0＜t＜3．
（3）如图2所示：过点d作CF⊥AB，垂足为F．

∵∠AQD=3∠PQD，∠AQP=90°，
∴∠PQD=45°．
∴∠DQF=45°．
∴QF=DF．
∵AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，
∴tan∠FAD=$\frac{1}{2}$，即DF=$\frac{1}{2}$AF．
∴Q为AF的中点．
∵QP∥DF，
∴E为AD的中点．
∴E（1，0）．
∴EC=2，即2=-$\frac{1}{4}$t²-$\frac{3}{4}$t+$\frac{9}{2}$，解得x=2或x=-5．
∵点P在第四象限，
∴x=2，
当x=2时，y=-2．
∴点P的坐标为（2，-2）．