Question

先阅读短文，再解答短文后面的问题．
在几何学中，通常用点表示位置，用线段的长度表示两点间的距离，用一条射线表示一个方向．在平面内，从一点出发的所有射线，可以用来表示平面内的各个不同的方向．
在线段的两个端点中，我们规定一个顺序：A为始点，B为终点，我们就说线段AB具有射线AB的方向．具有方向的线段，叫做有向线段．通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为始点，以B为终点的有向线段记作

AB

．应注意，始点一定要写在终点的前面．
已知有向线段

AB

，线段AB的长度叫做有向线

AB

的长度（或模），

AB

的长度记作|

AB

|．有向线段包含三个要素：始点、方向和长度．知道了有向线段的始点，它的终点就被方向和长度所唯一确定．
解答下列问题：
（1）如果两条有向线段的长度相同，始点的位置相同，那么它们的终点位置是否相同？为什么？
（2）如果两条有向线段的方向相同，始点的位置相同，那么它们的终点位置是否相同？为什么？
（3）在平面直角坐标系中画出下列有向线段（有向线段与轴的长度单位相同）：
①|

OA

|=2

2

，

OA

确与x轴的负半轴的夹角是45°，且与y轴的正半轴的夹角是45°，求终点A的坐标；
②

OB

的终点B的坐标为（3，

3

），求它的模及它与x轴的正半轴的夹角；
（4）已知点M、A、P在同一直线上；那么|

MA

|+|

AP

|=|

MP

|一定成立吗？请在图中画出图形并加以说明．

Answer 1

考点：*平面向量

专题：

分析：（1）由有向线段包含三个要素：始点、方向和长度，知道两条有向线段的长度相同，始点的位置相同，但不知道它们的方向是否相同，可得它们的终点位置不一定相同；
（2）由有向线段包含三个要素：始点、方向和长度，知道两条有向线段的方向相同，始点的位置相同，但不知道它们的长度是否相同，可得它们的终点位置不一定相同；
（3）①根据题意画出图形，然后利用有向线段的模的定义，即可求得点A的坐标；
②利用三角函数的知识即可求得它与x轴的正半轴的夹角，然后根据利用有向线段的模的定义，即可求得它的模；
（4）由点M、A、P在同一直线上，可得三点的位置顺序不确定，显然不一定成立．

解答：解：（1）它们的终点位置不一定相同．
∵有向线段包含三个要素：始点、方向和长度，知道两条有向线段的长度相同，始点的位置相同，但不知道它们的方向是否相同，
∴它们的终点位置不一定相同；

（2）它们的终点位置不一定相同．
∵有向线段包含三个要素：始点、方向和长度，知道两条有向线段的方向相同，始点的位置相同，但不知道它们的长度是否相同，
∴它们的终点位置不一定相同；

（3）①如图：∵

OA

确与x轴的负半轴的夹角是45°，且与y轴的正半轴的夹角是45°，
∴点A位于第二象限，
∴点A的横坐标为：-2

2

•cos45°=-2，点A的纵坐标为：2

2

•sin45°=2．
∴点A的坐标为（-2，2）；

②∵

OB

的终点B的坐标为（3，

3

），
∴OC=3，BC=

3

，
∴tan∠BOC=

BC

OC

=

3

3

，
∴∠BOC=30°，
∴|

OB

|=

OC2+BC2

=2

3

；
∴它的模及为2

3

，与x轴的正半轴的夹角为30°；

（4）若M、A、P在同一直线上，|

MA

|+|

AP

|=|

MP

|不一定成立．
如图甲：|

MA

|+|

AP

|=|

MP

|成立，
如图乙：|

MA

|+|

AP

|=|

MP

|不成立．
∴若M、A、P在同一直线上，|

MA

|+|

AP

|=|

MP

|不一定成立．

点评：此题考查了平面向量的知识．此题属于阅读性题目，解题的关键是理解题意，根据题意画出图形，利用数形结合思想求解．