Question

9．对某条路线的长度进行5次测量，得到5个结果（单位：km）：x₁=104，x₂=101，x₃=102，x₄=104，x₅=103．如果用x作为这条路线长度的近似值，要使得（x-x₁）²+（x-x₂）²+…+（x-x₅）²的值最小，x应选取这5次测量结果的（　　）

• A． 中位数
• B． 众数
• C． 平均数
• D． 最小值

Answer 1

分析 先设出y=（x-x₁）²+（x-x₂）²+（x-x₃）²+…+（x-x₅）²，然后进行整理得出y=5x²-2（x₁+x₂+x₃+…+x₅）x+（x₁²+x₂²+x₃²+…+x₅²），再求出二次函数的最小值即可得出答案．

解答 解：设y=（x-x₁）²+（x-x₂）²+（x-x₃）²+…+（x-x₅）²=x²-2xx₁+x₁²+x²-2xx₂+x₂²+x²-2xx₃+x₃²+…+x²-2xx₅+x₅²=5x²-2（x₁+x₂+x₃+…+x₅）x+（x₁²+x₂²+x₃²+…+x₅²），
则当x=-$\frac{-2（{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}+{x}_{5}）}{2×5}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}+{x}_{5}}{5}$时，时，二次函数y=nx²-2（x₁+x₂+x₃+…+x_n）x+（x₁²+x₂²+x₃²+…+x_n²）最小，
则x应选取这5次测量结果的平均数；
故选C．

点评 此题考查了方差，关键是设y=（x-x₁）²+（x-x₂）²+（x-x₃）²+…+（x-x_n）²，得到一个二次函数，用到的知识点是求二次函数的最小值．