Question

17．如图，小明想利用自己所学的数学知识测量连接塔AB的尖端和地面间的一条空中速滑索道AC的长度，小明先测得塔尖A在点C的北偏西22°方向，然后沿坡比为1：1（即tan∠ECD=1）的斜坡以18/分的速度步行2分钟到达E，测得点A的俯角为8°，若点A、B、C、D、E，都在同一平面内，且B、C、D三点共线．
（1）求索道AC的长度；
（2）求点A与点E间的距离．
（参考数据：sin76°≈$\frac{24}{25}$，cos76°≈$\frac{6}{25}$，tan76°≈4，sin37°≈$\frac{3}{5}$，cos37°≈$\frac{4}{5}$，tan37°≈$\frac{3}{4}$）

Answer 1

分析 （1）根据速度乘以时间得出CE的长度，通过坡度得到∠ECD=45°，作辅助线CF⊥AE于F，EG∥BD，解直角△CEF，求出CF与EF的长，再解直角△CAF，可求出AF及索道AC的长度；
（2）根据AE=AF+EF即可求出点A与点E间的距离．

解答 解：（1）作CF⊥AE于F，EG∥BD，则∠CEG=∠ECD．
根据题意，CE=18×2=36，∠GEA=8°．
∵tan∠ECD=1，
∴∠ECD=∠CEG=45°，
∵∠AEC=45°-8°=37°．
在直角△CEF中，∵∠CFE=90°，∠CEF=37°，CE=36，
∴CF=CE•sin∠CEF≈36×$\frac{3}{5}$=21.6，EF=CE•cos∠CEF≈36×$\frac{4}{5}$=28.8．
∵∠ACB=90°-22°=68°，∠ECD=45°，
∴∠ACE=180°-68°-45°=67°，
∴∠CAE=180°-∠ACE-∠AEC=180°-67°-37°=76°．
在直角△CAF中，∵∠CFA=90°，∠CAF=76°，CF≈21.6，
∴AF=$\frac{CF}{tan∠CAF}$≈$\frac{21.6}{4}$=5.4，AC=$\frac{CF}{sin∠CAF}$≈$\frac{21.6}{\frac{24}{25}}$=22.5；

（2）由（1）知AF≈5.4，EF≈28.8，
则AE=AF+EF≈5.4+28.8=34.2．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是作辅助线CF⊥AE于F构造直角三角形．