Question

19．已知：AC=AB，AD=AE，AD⊥AE，AB⊥AC，垂足均为点A，连接BE，AH⊥BC，垂足为点H，AH与BE相交于F．求证：BF=EF．

Answer 1

分析 先求出∠BAD=∠CAE，证明△ABD≌△ACE，得出∠ABD=∠ACE=45°，求出∠BCE=90°，证出AH∥CE，由等腰三角形的三线合一性质得出BH=CH，证出FH是△BCE的中位线，即可得出结论．

解答 证明：∵AD⊥AE，AB⊥AC，AC=AB，
∴∠DAE=∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAD=∠CAE}&{\;}\\{AD=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE=45°，
∴∠BCE=45°+45°=90°，
∴CE⊥BC，
∵AH⊥BC，
∴AH∥CE，BH=CH，
∴FH是△BCE的中位线，
∴BF=EF．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．