Question

16．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，BE=1，求CF的值．

Answer 1

分析 （1）首先连接OD，AD，根据AC是直径，判断出AD⊥BC，进而判断出D是BC的中点；然后判断出OD∥AB，再根据DE⊥AB，判断出DE⊥OD，进而判断出DE是⊙O的切线即可．
（2）根据OD∥AB，可得$\frac{FO}{FA}=\frac{OD}{AE}$，据此求出CF的值是多少即可．

解答 （1）证明：连接OD，AD，
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
即AD⊥BC，
∵AC=AB，
∴CD=BD，
∵AO=OC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线．       

（2）解：∵OD∥AB，
∴$\frac{FO}{FA}=\frac{OD}{AE}$，
∵FO=CF+3，FA=CF+3×2=CF+6，AE=AB-BE=AC-BE=3×2-1=5，
∴$\frac{CF+3}{CF+6}=\frac{3}{5}$
解得CF=1.5，
即CF的值是1.5．

点评 （1）此题主要考查了切线的判定，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
（2）此题还考查了平行线的性质和应用，以及等腰三角形的性质和应用，要熟练掌握．