4．选词填空

put　　 recover　 regular　 relief　　 replace　 quit　 receive　 reserve　 react　 remove

1)　　　　 She _____ no support from her parents; she had to rely on herself.

2)　　　　 He’s in hospital, ______ from a heart attack.

3)　　　　 Our _______ opening hours are from 10 am to 7 pm. On weekends we close at 5 pm.

4)　　　　 The old houses will be torn down and ______ with a shopping mall.

5)　　　　 Emma is not behaving very reasonably nowadays. I think she’s ______ against her teacher’s strictness.

6)　　　　 I didn’t recognize Tom until he ______ his dark sunglasses.

7)　　　　 To our ______, the missing boy finally came back home.

8)　　　　 It’s fairly risky. Or to ________ it another way, don’t try this at home.

9)　　　　 These seats are _______ for special guests.

10)　　 Doctors have given him six months to live if he doesn’t _______ drinking.

3．单项选择

1)　　　　 Lisa! I’m sorry --- I _______ recognize you --- you ________ your hair cut!

A. don’t; had　　　 B. didn’t; have had　 C. don’t; have had　 D. didn’t had

2)　　　　 The recording was __________. I can know exactly what happened at that time.

A. bad quality　　 B. good quality　　 C. of bad quality　 D. of good quality

3)　　　　 Buy vegetables _______ small quantities for your immediate use.

A. in　　 B. with　　 C. at　　 D. on

4)　　　　 Tanya, be __________! Our baby is sleeping and you may wake him up.

A. silent　　 B. still　　 C. quiet　 　D. noisy

5)　　　　 It remains ________ whether the operation was successful.

A. to be seen　　 B. to see　　 C. seeing　　 D. to have seen

6)　　　　 Australia’s unemployment ______ rose to 6.5% in February.

A. percent　　 B. rank　　 C. level　　 D. rate

7)　　　　 --- Can you see the sign on the door? --- Yes, it ________ “No Entry”.

A. reads　　 B. reflects　　 C. registers　 D. reports

8)　　　　 We regret _______ you that your application has not been successful.

A. informing　　 B. to inform　 C being informed　　 D. to have informed

9)　　　　 When the head teacher said someone didn’t obey the class discipline, we all knew whom he was ____________.

A. replying to　　 B. reacting to　　 C. referring to　　 D. relating to

10)　　 The terrible situation required that the manager ________ present.

A. be 　　　B. was　　 C. would be　 D. shall be

2．词形转换

1)　　　　 Alice read the letter with a __________ expression on her face. (puzzle)

2)　　　　 This part of the community needs to be protected from ______ prejudice. (race)

3)　　　　 Unexpectedly, he came to see me on a cold _______ day in October. (rain)

4)　　　　 I ______ that you are very busy, but could I talk to you for a few minutes? (realization)

5)　　　　 Tape ______ are widely used in English classes in China. (record)

6)　　　　 Be __________! You can’t expect her to do all the work on her own!(reason)

7)　　　　 Keep the file for future _________; it can be looked at in the future. (refer)

8)　　　　 My car’s quite old, but it’s still pretty ______________ (rely).

9)　　　　 It’s difficult to meet all the ________ of the strange customers. (require)

10)　　 Do something __________ before going to be --- read a book or take a hot bath. (relax)

1．单词拼写

1)　　　　 --- Three q______ of the money was spent on the program.　 --- 75%? Oh, my dear!

2)　　　　 Robin will take a general knowledge q_____________, and he’ll answer many difficult questions.

3)　　　　 Tracy works hard and makes r__________ progress in her studies.

4)　　　　 The PRC stands for the People’s R__________ of China.

5)　　　　 I have quite a good r___________ with my parents; we are very happy together.

6)　　　　 Frank’s dream of opening a restaurant became a r_________ in 1987. (现实)

7)　　　　 Each child had to r____________ a poem to the class. (背诵)

8)　　　　 Thanks to the R_______ and Opening-up Policy, China’s economy has improved a lot. (改革)

9)　　　　 We take all the old bottles to be r______________ (循环).

10)　　 He donated money to set up schools in r__________ mountain areas. (偏远的)

解法二　 设S_x＝Ax²+Bx(x∈N)

①－②，得A(m²－n²)+B(m－n)＝n－m

∵m≠n　 ∴ A(m+n)+B=－1

故A(m+n)²+B(m+n)＝－(m+n)

即S_m+n＝－(m+n)

说明　 a₁，d是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再

解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴．解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设S_x=Ax²+Bx．(x∈N)

[例14]　 在项数为2n的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n之值是多少？

解　 ∵S_偶项－S_奇项=nd

∴nd=90－75=15

又由a_2n－a₁＝27，即(2n－1)d=27

[例15]　 在等差数列{a_n}中，已知a₁＝25，S₉＝S₁₇，问数列前多少项和最大，并求出最大值．

解法一　 建立S_n关于n的函数，运用函数思想，求最大值．

∵a₁=25，S₁₇＝S₉　 解得d＝－2

∴当n=13时，S_n最大，最大值S₁₃＝169

解法二　 因为a₁=25＞0，d＝－2＜0，所以数列{a_n}是递减等

∵a₁＝25，S₉＝S₁₇

∴a_n=25+(n－1)(－2)=－2n+27

即前13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得S₁₃=169．

解法三　 利用S₉=S₁₇寻找相邻项的关系．

由题意S₉=S₁₇得a₁₀+a₁₁+a₁₂+…+a₁₇=0

而a₁₀+a₁₇=a₁₁+a₁₆=a₁₂+a₁₅=a₁₃+a₁₄

∴a₁₃+a₁₄＝0，a₁₃=－a₁₄　 ∴a₁₃≥0，a₁₄≤0

∴S₁₃=169最大．

解法四　 根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的n．

∵{a_n}是等差数列

∴可设S_n＝An²+Bn

二次函数y=Ax²+Bx的图像过原点，如图3．2－1所示

∵S₉＝S₁₇，

∴取n=13时，S₁₃＝169最大

4．关于几何概型：

(1)我们是就平面的情形给出几何概型的，同样的方法显然也适用于直线或空间的情形，只需将“面积”相应地改变为“长度”、“体积”；

(2)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决。

3．学好几何概率对于解决后续均匀分布的问题有很大帮助。

2．有关几何概率的题目难度不大，但需要准确理解题意，利用图形分析问题。本讲将着重介绍如何利用图形解决几何概率的相关问题；

1．几何概率是考研大纲上要求的基本内容，也是近年来新增考察内容之一；

题型1：线长问题

例1．一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳子都不短于1米的事件，考虑事件T发生的概率。

分析：类似于古典概型，我们希望先找到基本事件组，既找到其中每一个基本事件。注意到每一个基本事件都与唯一一个断点一一对应，故引例中的实验所对应的基本事件组中的基本事件就与线段AB上的点一一对应，若把离绳AB首尾两端1的点记作M、N，则显然事件T所对应的基本事件所对应的点在线段MN上。由于在古典概型中事件T的概率为T包含的基本事件个数/总的基本事件个数，但这两个数字(T包含的基本事件个数、总的基本事件个数)在引例1中是无法找到的，不过用线段MN的长除以线段AB的长表示事件T的概率似乎也是合理的。

解：P(T)=3/5。

例2．(磁带问题)乔和摩进行了一次关于他们前一天夜里进行的活动的谈话。然而谈话却被监听录音机记录了下来，联邦调查局拿到磁带并发现其中有10秒钟长的一段内容包含有他们俩犯罪的信息 然而后来发现，这段谈话的一部分被联邦调查局的一名工作人员擦掉了，该工作人员声称她完全是无意中按错了键，并从即刻起往后的所有内容都被榛掉了试问如果这10秒钟长的谈话记录开始于磁带记录后的半分钟处，那么含有犯罪内容的谈话被部分或全部偶然擦掉的概率将是多大？

解析：将3O分钟的磁带表示为长度为3O的线段R，则代表10秒钟与犯罪活动有关的谈话的区间为 r,如右图所示，10秒钟的谈话被偶然擦掉部分或全部的事件仅在擦掉开始的时间位于该区间内或始于该区间左边的任何点。 因此事件r是始于R线段的左端点且长度为的事件。因此,。

例3．假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率 ？

　解：以两班车出发间隔 ( 0，10 )　 区间作为样本空间 S，乘客随机地到达，即在这个长度是 10 的区间里任何一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题。

要使得等车的时间不超过 3 分钟，即到达的时刻应该是图中 A 包含的样本点，

p=== 0.3 。

题型2：面积问题

例4．投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为1/2米的小方块。实验是向板中投镖，事件A表示投中阴影部分为成功，考虑事件A发生的概率。

分析与解答：类似于引例1的解释，完全可以把此引例中的实验所对应的基本事件组与大的正方形区域联系在一起，既事件组中的每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应，则事件A所包含的基本事件就与阴影正方形中的点一一对应，这样我们用阴影正方形的面积除以大正方形的面积表示事件A的概率是合理的。这一点我们完全可以用引例1的方法验证其正确性。

解析：P(A)=(1/2)²/1²=1/4。

例5．(CB对讲机问题)(CB即CitizenBand市民波段的英文缩写)两个CB对讲机持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3:0O时莉莉正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：0O时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？

解：设x和y分别代表莉莉和霍伊距某地的距离，

于是

则他俩所有可能的距离的数据构成有序点对(x,y),这里x，y都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置， 他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不超过25公里时发生(如右图)因此构成该事件的点由满足不等式

的数对组成，此不等式等价于

右图中的方形区域代表基本事件组，阴影部分代表所求事件，方形区域的面积为1200平方米公里，而事件的面积为

，

于是有。

例6．(意大利馅饼问题)山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶 该靶为正方形板．边长为18厘米，挂于前门附近的墙上，顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有机会赢得一种意大利馅饼中的一个，投镖靶中画有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半径为1厘米的最内层圆域时．可得到一个大馅饼；当击中半径为1厘米到2厘米之间的环域时，可得到一个中馅饼；如果击中半径为2厘米到3厘米之间的环域时，可得到一个小馅饼，如果击中靶上的其他部分，则得不到谄饼，我们假设每一个顾客都能投镖中靶，并假设每个圆的周边线没有宽度，即每个投镖不会击中线上，试求一顾客将嬴得：

(a)一张大馅饼，

(b)一张中馅饼，

(c)一张小馅饼，

(d)没得到馅饼的概率

解析：我们实验的样本空间可由一个边长为18的正方形表示。右图表明R和子区域r₁、r₂、r₃和r,它们分别表示得大馅饼、中馅饼、小馅饼或没得到馅饼的事件。

；

；

；

。

题型3：体积问题

例7．(1)在400毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察,求发现大肠杆菌的概率。

解析：由于取水样的随机性,所求事件的概率等于水样的体积与总体积之比，即2/400=0.005。

(2)如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油,假如在这海领域里随意选定一点钻探,问钻到石油的概率是多少?

解析：由于选点的随机性,可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的,因而所求概率自然认为等于贮油海域的面积与整个海域面积之比,即等于40/50000=0.0008。

例8．在线段[0，1]上任意投三个点，问由0至三点的三线段，能构成三角形与不能构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大。

解析：设0到三点的三线段长分别为x,y,z，即相应的　　　　 z

右端点坐标为x,y,z，显然_。这三条线　　　　　 1　　　　　　　 C

段构成三角形的充要条件是：　　　　　　　　　　 A　　　　　　　　　 D

。

　　 在线段[0，1]上任意投三点x,y,z。与立方体　　　　　　　　　　　　　　　　　

0　　　　　　　 1　　 y

，，中的点　　　　　 1　　　　　　　　　　　

一一对应，可见所求“构成三角形”的概率，等价于x　　　　　　　 B

边长为1的立方体T中均匀地掷点，而点落在

区域中的概率；这也就是落在图中由ΔADC，ΔADB，ΔBDC，ΔAOC，ΔAOB，ΔBOC所围成的区域G中的概率。由于 ，

由此得，能与不能构成三角形两事件的概率一样大。

题型4：随机模拟

例9．随机地向半圆(为正常数)内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与轴的夹角小于的概率.

　 　解析：半圆域如图

　　　　　　　　　　　　　 设‘原点与该点连线与轴夹角小于’

　　　　　　　　　　　　　 由几何概率的定义

　　　　　　　　　　　　　 。

例10．随机地取两个正数和，这两个数中的每一个都不超过1，试求与之和不超过1，积不小于0.09的概率.

　 　解析：，不等式确定平面域。

‘’则发生的充要条件为不

等式确定了的子域，

故：

例11. 曲线y=-x²+1与x轴、y轴围成一个区域A，直线x=1、直线y=1、x轴围成一个正方形，向正方形中随机地撒一把芝麻，利用计算机来模拟这个试验，并统计出落在区域A内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数。

答案：如下表，由计算机产生两例0~1之间的随机数，它们分别表示随机点(x,y)的坐标。如果一个点(x,y)满足y≤-x²+1，就表示这个点落在区域A内，在下表中最后一列相应地就填上1，否则填0。