28．(命题人：海门中学陈达，审题人：海门中学方伟)

结论：圆C：与x轴相交于M、N两点，设点P是圆C上任一点，则直线PM、PN斜率的乘积是定值．

(1)写出以上结论在椭圆中的推广，并加以证明；

(2)将(1)的结论类比到双曲线，并加以证明．

解：(1)设椭圆与x轴交于M、N两点，设点P是椭圆上任一点，则直线PM、PN斜率的乘积是定值．

证明：由题意，设，

则，所以，所以．

是定值．

(2)设双曲线与x轴交于M、N两点，设点P是双曲线上任一点，则直线PM、PN斜率的乘积是定值．

证明：由题意，设，

则，所以，所以．

是定值．

27．(命题人：海门中学周裕冲，审题人：海门中学方伟)

已知函数在点P处的切线方程为，又．

(1)求函数的解析式；

(2)求函数的单调区间和极值；

(3)若函数在区间上的值域为，求应满足的条件．

解：(1)由题设，知，，，

解得，所以．

(2)由，得．由，得．

的单调增区间是，单调减区间为．

当时，取得极大值0，当时，取得极小值．

(3)由(2)知，在上是增函数，在上是减函数．因为，

所以，所以．

此时，由，得．

所以．

综上，．

26．(命题人：海门中学方伟，审题人：海门中学沈永飞)

解不等式．

解：(Ⅰ)当x<－2时，得－(2x－1)－(x+2)<4，得，此不等式无解．

(Ⅱ)当－2x<，得－(2x－1)+(x+2)<4，得x>－1，．

(Ⅲ)当x时，得(2x－1)+(x+2)<4，得．

综上，原不等式的解集为(－1，1)．

25．(命题人：通州中学薛国均，审题人：通州中学宋茂华．改编)

已知圆O的方程为过直线上的任意一点P作圆O的切线PA、PB．四边形OABP的面积取得最小时的点P的坐标(m，n)设．

(1)求证：当恒成立；

(2)讨论关于的方程： 根的个数．

解析：(1)＝．

　　 　当取得最小值时取得最小，过点O 作垂直于直线，交点为，

　　 　易得，∴．∴．

　　　 ∴，∴在是单调增函数，

　　　 ∴对于恒成立．

(2)方程，∴．

　 ∵ ，∴ 方程为．令，

　　　 　　 ，当上为增函数；

　　　 　 　　上为减函数，

　　　　 　 　当时，

，

　　　 　　 ∴、在同一坐标系的大致图象如图所示，

　　　 　　 ∴①当时，方程无解．

　　 　　　②当时，方程有一个根．

③当时，方程有两个根．

24．(命题人：通州中学薛国均，审题人：通州中学宋茂华．改编)

　 　已知数列满足 　，令 ，求证

(1)数列是等比数列；

　(2)．

解析：(1)．

　　 　　∴＝，

　 　　　∵，∴ ．

　 　　　∴数列 是等比数列．

(2)∵ 数列 是等比数列，∴．

　 　　　∵ ，∴，∴．

∵ ＝

　 　　　　＝，

∴ ．

23．(命题人：如东中学何鹏，审题人：如东中学缪林，由2008年广东省韶关市高三摸底考试数学(理)第21题改编．)

设函数的定义域为R，当x＜0时＞1，且对任意的实数x，y∈R，有．

(Ⅰ)求，判断并证明函数的单调性；

(Ⅱ)数列满足，且．

①求通项公式．

②当时，不等式对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．

[解析](Ⅰ)时，f(x)＞1．

令x＝－1，y＝0，则f(－1)＝f(－1)f(0)．∵f(－1)＞1 ，∴f(0)＝1．

若x＞0，则f(x－x)＝f(0)＝f(x)f(－x)．

故，故x∈R， f(x)＞0．

任取x₁＜x₂，，

，故f(x)在R上减函数．

(Ⅱ)①．由f(x)单调性，a_n+1＝a_n+2 ，

故{a_n}等差数列，．

②．

∴是递增数列．

当n≥2时，，

　，

即．

而a＞1，∴x＞1，故x的取值范围(1，+∞)．

22．(命题人：如东中学葛张勇 ，审题人：如东中学何鹏，由《中学数学教学参考》2008年第1期题目改编 )

有红色和黑色两个盒子，红色盒中有6张卡片，其中一张标有数字0，2张标有数字1，3张标有数字2；黑色盒中有7张卡片，其中4张标有数字0，1张标有数字1，2张标有数字2．现从红色盒中任意取1张卡片(每张卡片被抽出的可能性相等)，黑色盒中任取2张卡片(每张卡片被抽出的可能性相等)，共取3张卡片．

(Ⅰ)求取出的3张卡片都标有数字0的概率；

(Ⅱ)求取出的3张卡片数字之积是4的概率；

(Ⅲ)求取出的3张卡片数字之积是0的概率．

[解析](Ⅰ)；(Ⅱ)；

(Ⅲ)．

答：(略)．

21． (选题人：启东中学徐建明，审题人：启东中学李俊)

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)是函数f(x)＝的图象上任意两点，且，已知点M的横坐标为．

(1)求证：M点的纵坐标为定值；　

(2)若S_n＝f(∈N^*，且n≥2，求S_n．

(3)已知a_n＝其中n∈N^*．

　 　　T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜λ(S_n+1+1)对一切n∈N^*都成立，试求λ的取值范围．

[解析](1)证明：∵ ∴M是AB的中点．设M点的坐标为(x，y)，

　　 　　由(x₁+x₂)＝x＝，得x₁+x₂＝1，则x₁＝1－x₂或x₂＝1－x₁．

　　 　　而y＝(y₁+y₂)＝ ［f(x₁)+f(x₂)］ ＝(+log₂

 ＝(1+log₂　 ＝(1+log₂

 ＝(1+log₂∴M点的纵坐标为定值．

(2)由(1)，知x₁+x₂＝1，f(x₁)+f(x₂)＝y₁+y₂＝1，

　　　 S_n＝f(S_n＝f(，

　 　　　两式相加，得

2S_n＝［f()+［f()+…+［f()

　　　 　　＝ ，∴S_n＝(n≥2，n∈N^*)．

(3)当n≥2时，a_n＝

　　 　T_n＝a₁+a₂+a₃+…+a_n＝［(]

　　　 　　＝(

　 　　　由T_n＜λ(S_n+1+1)，得＜λ·∴λ＞

　　 　∵n+≥4，当且仅当n＝2时等号成立，∴

因此λ＞，即λ的取值范围是(+∞)．

20． (选题人：启东中学陈兵，审题人：启东中学李俊)

已知定理：“若为常数，满足，则函数的图象关于点中心对称”．设函数，定义域为A．

(1)试证明的图象关于点成中心对称；

(2)当时，求证：；

(3)对于给定的，设计构造过程：，…，．如果，构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止．若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值．　　　　

[解析](1)∵，∴．

由已知定理，得的图象关于点成中心对称．

(2)先证明在上是增函数，只要证明在上是增函数．

设，则，

∴在上是增函数．

再由在上是增函数，得

当时，，即．

(3)∵构造过程可以无限进行下去，∴对任意恒成立．

∴方程无解，即方程无解或有唯一解．

∴或由此得到．

19． (选题人：启东中学陈高峰，审题人：启东中学李俊)

已知函数的图象x轴的交点至少有一个在原点右侧．

　 (1)求实数m的取值范围；

　 (2)令t＝－m+2，求的值(其中[t]表示不大于t的最大整数)；

　 (3)对(2)中的t，求函数的值域．

[解析]若m＝0　 则符合题意．

若m≠0 ，①m<0时，∵两根异号，∴必有一个负根．

②m>0时，由时，方程有两正根．综上得．

(2)∵t＝－m+2 ，∴．当t＝1时，，当t>1时，．

(3)当t＝1时，；当t>1时，＝0，设[t]＝n，且t＝[t]+a，则．

于是．由函数时是增函数，

及．

设递减，∴．

∴．

递减，∴．

于是t>1时，的值域为．

综上的值域为．