2.4 重视在导数、向量、函数、不等式等知识交汇点上的命题趋势,既考查相关的知识,又体现知识间的联系和应用,突出对知识的迁移和应用能力的考查。

例5  已知椭圆的中心在原点,离心率为,一个焦点是F(-m,0)(m是大于0的常数).  

 (Ⅰ)求椭圆的方程; 

 (Ⅱ)设Q是椭圆上的一点,且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 若,求直线的斜率.

分析:本小题主要考查直线、椭圆和向量等基本知识,以及推理能力和运算能力.

    (I)设所求椭圆方程是

    由已知,得   所以.

    故所求的椭圆方程是

    (II)设Q(),直线

    当由定比分点坐标公式,得

   

    .

    于是  故直线l的斜率是0,.

 例6  设曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为,则到曲线对称轴距离的取值范围是(   )

  (A)     (B)     (C)     (D)

分析: 本题主要考查导数的求法,倾斜角和斜率的概念,点到直线的距离等知识。

   ∵ 过P点的切线斜率由题意:

的对称轴为到该对称轴的距离为,故应选B.

  例7 已知常数,向量,经过原点O以为方向向量的直线相交于点P,其中。试问:是否存在两个定点,使得为定值?若存在,求出的坐标;若不存在,说明理由。

  分析: 本题依托向量把解析几何联系起来,既考查向量的坐标运算,又考查直线与曲线的方程及圆锥曲线的定义和简单的几何性质。解本题的关键是求出点轨迹方程。

直线OA和AP的方程分别为:

消去参数得P点的轨迹方程为:,整理得    (*)

(1)    当时,方程(*)表示圆,故不存在满足题意的两定点E和F;

(2)    当时,方程(*)表示焦点在上的椭圆,两焦点即为满足题意的两定点;

(3)    当时,方程(*)表示焦点在轴上的椭圆,两焦点即为满足题意的两定点。

  例8已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左.右焦点为F1、F2,离心率为e. 直线

ly=ex+ax轴.y轴分别交于点A、B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是点F1关于直线l的对称点,设=λ.

  (Ⅰ)证明:λ=1-e2

  (Ⅱ)确定λ的值,使得△PF1F2是等腰三角形.

(Ⅰ)证法一:因为A、B分别是直线lx轴、y轴的交点,所以A、B的坐标分别是.

   所以点M的坐标是().   由

解法二:因为PF1l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,要使△PF1F2为等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2|,

设点P的坐标是

由|PF1|=|F1F2|得

两边同时除以4a2,化简得 

从而

于是 

即当时,△PF1F2为等腰三角形

  例9.如图,设抛物线的焦点为F,动点P在直线上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.

(1)求△APB的重心G的轨迹方程.

(2)证明∠PFA=∠PFB.

解:(1)设切点A、B坐标分别为

∴切线AP的方程为:

  切线BP的方程为:

解得P点的坐标为:

所以△APB的重心G的坐标为

所以,由点P在直线l上运动,从而得到重心G的轨迹方程为:

  (2)方法1:因为

由于P点在抛物线外,则

同理有

∴∠AFP=∠PFB.

方法2:①当所以P点坐标为,则P点到直线AF的距离为:

所以P点到直线BF的距离为:

所以d1=d2,即得∠AFP=∠PFB.

②当时,直线AF的方程:

直线BF的方程:

所以P点到直线AF的距离为:

,同理可得到P点到直线BF的距离,因此由d1=d2,可得到∠AFP=∠PFB

                                 2005年11月

2.3 有关直线和圆锥曲线的位置关系问题,主要涉及求参数的值或范围,既考基础,又考能力,突出区分功能,体现思维价值。

例3 过椭圆C:上动点P作⊙的两条切线,切点为 ,若直线轴、轴分别交于两点;

(1)    求证:为定值;

(2)    若椭圆C上存在点,使得由向⊙所引两条切线互相垂直,求离心率的取值范围。

  分析:本题主要考查直线与圆的方程,以及离心率的概念,立意新,思维活,在考查基础知识的同时突出对理性思维能力的考查。

(1)   设易知四点共圆,并且此圆的方程为,由于为上述圆与已知圆,令,故(定值)。

注意 :本小题切点弦的直线方程也可用“设而不求”的方法得出。

(2)由题意,四边形为正方形,,从而存在点的条件为:以为圆心、为半径的圆与椭圆相交,,故

例4 已知顶点在原点,焦点在轴上的抛物线截直线所得的弦长为

(1)    求抛物线C的方程;

(2)    过点,且斜率的直线与抛物线C相交与A、B两点,求M分所成比的范围。

分析  本题涉及直线与抛物线的位置关系问题,主要考查一元二次方程与系数关系,两点间距离公式及点M分所成的比等基础知识和基本方法,考查综合分析和解决问题的能力,具有较好的思维价值。

(1)    设,直线与抛物线C交于,由  

,即

解得

(2)直线把它代入 不合。把代入,设, 

,则(*) 由定比分点公式:0=代入(*)的,显然,于是

 0  50091  50099  50105  50109  50115  50117  50121  50127  50129  50135  50141  50145  50147  50151  50157  50159  50165  50169  50171  50175  50177  50181  50183  50185  50186  50187  50189  50190  50191  50193  50195  50199  50201  50205  50207  50211  50217  50219  50225  50229  50231  50235  50241  50247  50249  50255  50259  50261  50267  50271  50277  50285  447348 

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