1．若命题p：:x∈A∪B则p是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．x A或x B

　　　 C．x A且x B　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

解　 n的最小值为41．

首先证明合乎条件．用反证法．假定存在X的15个子集，它们中任何7个的并不少于41个元素，而任何3个的交都为空集．因每个元素至多属于2个子集，不妨设每个元素恰好属于2个子集(否则在一些子集中添加一些元素，上述条件仍然成立)，由抽屉原理，必有一个子集，设为A，至少含有＝8个元素，又设其它14个子集为．考察不含A的任何7个子集，都对应X中的41个元素，所有不含A的7－子集组一共至少对应个元素．另一方面，对于元素a，若，则中有2个含有a，于是a被计算了次；若，则中有一个含有a，于是a被计算了次，于是

，

由此可得，矛盾．

其次证明．

用反证法．假定，设，令

，

．

显然，，，，，于是，对其中任何3个子集，必有2个同时为，或者同时为，其交为空集．

对其中任何7个子集，有

，

任何3个子集的交为空集，所以．

综上所述，n的最小值为41．

，．

证明不等式

．

证明　 首先，用数学归纳法证明：．

时，命题显然成立．

假设命题对成立，即有．

设，则是减函数，于是

,

　 　，

即命题对n+1也成立．

原命题等价于

．

设，则是凸函数，即对，有．

事实上，等价于

，

．

所以，由Jenson 不等式可得

，

即　　　　　 ．

另一方面，由题设及Cauchy不等式，可得

，

所以　　　　　　　　　 ，

故　

，

从而原命题得证．

别与边BC，CA， AB 相切于点D，E，F，连接AD，与内切圆O相交于点P，连接BP，CP，若，求证：．

证明 设AE = AF = x，BD＝BF＝y，CD＝CE＝z，AP＝m，PD＝n．

因为，所以．

延长AD至Q，使得，连接BQ，CQ，则P，B，Q，C四点共圆，令DQ＝l，则由相交弦定理和切割线定理可得

，　　　　　　　　　　　　　　 ①

．　　　　　　　　　　　　　 ②

因为∽，所以，故

．　　　　　　　　　　 ③

在Rt △ACD和Rt △ACB中，由勾股定理得

，　　　　　　　　　　 ④

．　　　　　　　　　 ⑤

③－②，得　　　　　　 ，　　　　　　　　　 　　　　⑥

①÷⑥，得　　　　　　　　 ，

所以　　　　　　　　　　 ，　　　　　　　　　　　　 ⑦

②×⑦，结合④，得　　 ，

整理得　　　　　　　　　 ．　　　　　　　　　　　　 ⑧

又⑤式可写为　　　　　　　 ，　　　　　　　　　　　　　　 ⑨

由⑧，⑨得　　　　　　　　 ．　　　　　　　　　　　　　 ⑩

又⑤式还可写为　　　　　　 ，　　　　　　　　　　　　　 11

把上式代入⑩，消去，得

，

解得　　　　　　　　　　　　 ，

代入11得，　　　　　　　　 ，

将上面的x，y代入④，得

，

结合②，得　　　　　　　 ，

从而　　　　　　　　　　　　 ，

所以，，即 ．

和　　　　　　　　　　

中至少有一个有奇数解．

证明　 首先我们证明如下一个

引理：不定方程

　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　①

或有奇数解，或有满足

　　　　　　　　　 ②

的偶数解，其中k是整数．

引理的证明　 考虑如下表示

　　，

则共有个表示，因此存在整数，，满足，且　　　　　　　

，

这表明　 　　　　　　　

，　　　　　　　　　　 ③

这里。由此可得

，

故，因为，所以

，

于是．因为m为奇数，，显然没有整数解．

(1)　　 若，则是方程①满足②的解．

(2)　　 若，则是方程①满足②的解．

(3)　　 若，则．

首先假设3m，若，且，则

　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　④

是方程①满足②的解．若，则

　　　　　　　　　　 ⑤

是方程①满足②的解．

现在假设，则公式④和⑤仍然给出方程①的整数解．若方程①有偶数解，则

．

因为的奇偶性不同，所以，都为奇数．

若，则是方程①的一奇数解．

若，则是方程①的一奇数解．

(4)，则．

当5m时，若，或，则

　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　⑥

是方程①满足②的解．

若，或，则

　　　　　　　　　 ⑦

是方程①满足②的解．

当，则公式⑥和⑦仍然给出方程①的整数解．若方程①有偶数解，则

　 ，

可得　　　　　　　 ．

若　 ，或者　 ，或者

，则是方程①的一奇数解．

　　 若 ，或，则

是方程①的一奇数解．

引理证毕．

由引理，若方程①没有奇数解，则它有一个满足②的偶数解．令，考虑二次方程

，　　　　　　　　　　　 ⑧

则　　　　　　　 ，

这表明方程⑧至少有一个整数根，即

，　　 　　　　　　　　　⑨

上式表明必为奇数．将⑨乘以4n后配方得

，

这表明方程有奇数解．

　2006中国数学奥林匹克

(第二十一届全国中学生数学冬令营)

第二天

福州　 1月13日 上午8∶00-12∶30　 每题21分

解　 答案：中最少有46个互不相同的数．

由于45个互不相同的正整数两两比值至多有45×44+1＝1981个，故中互不相同的数大于45．

下面构造一个例子，说明46是可以取到的．

设为46个互不相同的素数，构造如下：

，

，

，

，

这2006个正整数满足要求．

所以中最少有46个互不相同的数．

．

证明　 只需对任意，证明不等式成立即可．

记，则

，

，，

，

把上面这n个等式相加，并利用可得

．

由Cauchy 不等式可得

，

所以　　　　　　　　　 ．

22．(本小题满分14分)

　　　 设是定义在[-1，1]上的偶函数，的图象与的图象关于直线对称，且当

x∈[ 2，3 ] 时， 2²²²3³．

　　　　 (1)求的解析式；

　　　　 (2)若在上为增函数，求的取值范围；

　　　　 (3)是否存在正整数，使的图象的最高点落在直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

解： (1)当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，f(x)=g(2-x)= -2ax+4x³；当x∈时，f(x)=f(-x)=2ax-4x³，

　　　　 ∴…………………………………………………4分

　　　　 (2)由题设知，＞0对x∈恒成立，即2a-12x²＞0对x∈恒成立，于是，a＞6x²，从而a＞(6x²)_max=6．…………………………………………………8分

(3)因f(x)为偶函数，故只需研究函数f(x)=2ax-4x³在x∈的最大值．

　　　　　　　　 令=2a-12x²=0，得．…………10分　　　　 若∈，即0＜a≤6，则

　　　　　　　　 ，

　　　　　　　　 故此时不存在符合题意的；

　　　　　　 若＞1，即a＞6，则在上为增函数，于是．

　　　　　 令2a-4=12，故a=8．　 综上，存在a = 8满足题设．……………………………14分

21．(本小题满分12分)

等比数列的首项为，公比．

(1)设表示该数列的前n项的积，求的表达式；

(2)当n取何值时，有最大值．

解　　 (1)，．………………………………4分

(2)∵，

∴当n≤10时，＞1，∴ | f(11) |＞| f(10) |＞…＞| f(1) |；……………6分

当n≥11时，＜1，∴ | f(11) |＞| f(12) |＞…．………………………8分

∵，∴的最大值为或中的最大者．10分

∵，

∴ 当n=12时，有最大值为．……………………………12分

20．(本小题满分12分)

　　　 是以为焦点的双曲线C：(a＞0，b＞0)上的一点，已知，．

　　　　 (1)试求双曲线的离心率；

　　　　 (2)过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P₁、P₂两点，当，= 0，求双曲线的方程．

解　　 (1)∵，，　 ∴，．

　　　　 ∵=0，∴(4a)²+(2a)²=(2c)²，∴．………………………………4分

　　　　 (2)由(1)知，双曲线的方程可设为，渐近线方程为．…5分

　　　　 设P₁(x₁，2x₁)，P₂(x₂，-2x₂)，P(x，y)．

　　　　 ∵，∴． ∵，∴………8分

　　　　 ∵点P在双曲线上，∴．

　　　　 化简得，．∴．∴ ．　　 ∴双曲线的方程为．………12分