13. 证明：(1)在中，分别是的中点

且

又是的中点，，

且

四边形是平行四边形

(2)证明：分别是的中点

且

又，且，，且

平行四边形是正方形．

(2008山东德州)在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°， AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．

求证：CE⊥BE．　

证明: 过点C作CF⊥AB，垂足为F．

∵ 在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，

∴ ∠D＝∠A＝∠CFA＝90°．　 　

∴四边形AFCD是矩形．

AD=CF,　 BF=AB-AF=1．

在Rt△BCF中，

CF²=BC²-BF²=8，

∴ CF=．

∴ AD=CF=．

∵ E是AD中点，

∴ DE=AE=AD=．

在Rt△ABE和 Rt△DEC中，

EB²=AE²+AB²=6，

EC²= DE²+CD²=3，

　　　 EB²+ EC²=9=BC²．

∴ ∠CEB＝90°．

∴ EB⊥EC．

12. 解：当点M是AD的中点时，．

理由如下：如图，连结MB、MC，

∵在梯形ABCD中，，

∴梯形ABCD是等腰梯形，从而．

∵点M是AD的中点，∴．

又∵，∴△MAB≌△MDC．

∴．

11. (1)(选证一)

(选证二)

证明：

(选证三)

证明：

(2)四边形ABDF是平行四边形。

由(1)知，、、都是等边三角形。

(3)由(2)知，)四边形ABDF是平行四边形。

10. (1)证明：与都是等边三角形

················· 1分

······················· 2分

又

···························· 3分

四边形是菱形······················· 4分

(2)解：连结，与相交于点················ 5分

由，可知······················ 6分

······················· 7分

···························· 8分

9. ⑴ ①略；②PC－PA＝CE；⑵结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA－PC＝CE；

8. 解：(1)　 ∵△ABE、△BCF为等边三角形，

∴AB = BE = AE，BC = CF = FB，∠ABE = ∠CBF = 60°.

∴∠FBE = ∠CBA.　 ………………………1分

∴△FBE ≌△CBA.

∴EF = AC. ………………………………………2分

又∵△ADC为等边三角形，

∴CD = AD = AC.

∴EF = AD..……………………………………………………………………………………………………………3分

同理可得AE = DF. 　……………………………………………………………………………………………5分

∴四边形AEFD是平行四边形. ……………………………………………………………………………6分

(其它证法，参照给分)

(2) 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段.

当图形为菱形时，∠ BAC≠60°(或A与F不重合、△ABC不为正三角形)………7分

(若写出图形为平行四边形时，不给分)

当图形为线段时，∠BAC = 60°(或A与F重合、△ABC为正三角形).　 …………8分

7.

解：方案(1)　

画法1：　　　　　　　 画法2：　　　　　　　　 画法3：

(1)过F作FH∥AD交　 (1)过F作FH∥AB交　 (1)在AD上取一点

AD于点H　　　　　　　 AD于点H　　　　　　　　 H，使DH=CF

(2)在DC上任取一点G　 (2)过E作EG∥AD交　 (2)在CD上任取

连接EF、FG、GH、　　 DC于点G　　　 　　　　　　　一点G

HE，则四边形EFGH　　 连接EF、FG、GH、　　　 连接EF、FG、GH、

就是所要画的四边形；　 HE，则四边形EFGH　　　 HE，则四边形EFGH

　　　　　　　　　　 就是所要画的四边形　　　　 就是所要画的四边形

(画图正确得4分，简要说明画法得1分)

方案(2)　　　　　　　　 画法：(1)过M点作MP∥AB交AD于点P，

　 (2)在AB上取一点Q，连接PQ，

　　　　　　　　　 　　　　　　　(3)过M作MN∥PQ交DC于点N，

　　　　　　　　　　　　　　　　　 连接QM、PN、MN

　　　　　　　　　　　　　　　　 则四边形QMNP就是所要画的四边形

　　 (画图正确的2分，简要说明画法得1分)

6. 答：四边形ABCD为菱形　　　　　　　　　　　

理由是：

由翻折得△ABC≌△DBC．所以　　　　　　　　　　　　

因为△ABC为等腰三角形，

所以

所以AC＝CD＝AB＝BD，　　　　　　　　　

故四边形ABCD为菱形　　　　　　　　　　　　

注：如果学生只答四边形ABCD为平行四边形给1分，说理正确，给5分，共6分

5. 解:AF = CE

　　　 ∵四边形ABCD是平行四边形

　　　 ∴AD=CB, ∠A=∠C, ∠ADC=∠ABC

　　　 又∵∠ADF=∠ADC, ∠CBE=∠ABC

　　　 ∴∠ADF=∠CBE

　　 　∴∆ADF≌∆CBE

　　　 ∴AF = CE

4.

猜想：

证明：

猜想：，

证明：

证法一：如图19－1

四边形是平行四边形．

又

证法二：如图19－2

连结，交于点，连结，．

四边形是平行四边形

，

又

四边形是平行四边形