30．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，以BC为边向外作正方形BEDC，连结AE交BC于F，作FG∥BE交AB于G．

求证：FG＝FC．

[提示]证明＝．

[答案]∵　 FG∥BE，∴　 ＝．∵　 FC∥ED，∴　 ＝．

∴　 ＝．又　 EB＝ED，∴　 FG＝FC．

29．如图，BD、CE为△ABC的高，求证∠AED＝∠ACB．

[提示]先证△ABD∽△ACE，再证△ADE∽△ABC．

[答案]∵　 ∠ADB＝∠AEC＝90°，∠A＝∠A，

∴　 △ABD∽△ACE．∴　 ＝．

又　 ∠A＝∠A，∴　 △ADE∽△ABC．∴　 ∠AED＝∠ACB．

[点评]本题要求运用相似三角形的判定与性质．

28．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP²＝PE·PF．

　　　 (28题)　　　　　　　　 (29题)　　　　　 (30题)

[提示]先证PB＝PC，再证△EPC∽△CPF．

[答案]连结PC．

∵　 AB＝AC，AD是中线，∴　 　AD是△ABC的对称轴．

∴　 PC＝PB，∠PCE＝∠ABP．∵　 CF∥AB，

∴　 ∠PFC＝∠ABP．∴　 ∠PCE＝∠PFC．

又　 ∠CPE＝∠EPC，∴　 △EPG∽△CPF．

∴　 ＝．即　 PC²＝PE·PF．∴　 BP²＝PE·PF．

[点评]本题要求运用等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．

27．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．

[提示]先证＝．

[答案]在正方形ABCD中，∵　 Q是CD的中点，∴　 ＝2．

∵　 ＝3，∴　 ＝4．

又　 BC＝2DQ，∴　 ＝2．

在△ADQ和△QCP中，＝，∠C＝∠D＝90°，

∴　 △ADQ∽△QCP．

[点评]本题要求运用相似三角形的判定定理．

26．如图，矩形PQMN内接于△ABC，矩形周长为24，AD⊥BC交PN于E，且BC＝10，AE＝16，求△ABC的面积．

[提示]利用相似三角形的性质，列出关于ED的方程，求ED的长，即可求出S_△ABC．

[答案]∵　 矩形PQMN，∴　 PN∥QM，PN＝QM．∵　 AD⊥BC，

∴　 AE⊥PN．∵　 △APN∽△ABC，∴　 ＝．

设ED＝x，又　 矩形周长为24，则PN＝12－x，AD＝16+x．

∴　 ＝．即　 x²+4x－32＝0．解得　 x＝4．

∴　 AD＝AE+ED＝20．∴　 S_△ABC＝BC·AD＝100．

[点评]本题要求运用相似三角形对应高线的比等于相似比．

25．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．

(1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？

(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．

[提示](1)考虑AC、PD、PC、DB之间比例关系．(2)利用相似三角形的性质“对应角相等”．

[答案]∵　 ∠ACP＝∠PDB＝120°，

当＝，即＝，也就是CD²＝AC·DB时，△ACP∽△PDB．

∴　 ∠A＝∠DPB．

∴　 ∠APB＝∠APC+∠CPD+∠DPB　 ＝∠APC+∠A+∠CPD

＝∠PCD+∠CPD　 ＝120°．

[点评]本题要求运用相似三角形判定定理和性质的运用．

24．如图，已知△ABC中，AE︰EB＝1︰3，BD︰DC＝2︰1，AD与CE相交于F，求+的值．

[提示]作EG∥BC交AD于G．

[答案]作EG∥BC交AD于G，则由＝，即＝，得EG＝BD＝CD，

∴　 ＝＝．

作DH∥BC交CE于H，则DH＝BE＝AE．∴　 ＝＝1，

∴　 +＝+1＝．

　　　　　　　　　　　　　　　 (25题)　　　　　　　 (26题)

[点评]本题要求灵活运用三角形一边平行线的性质定理．

23．如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm，DE＝5 cm，求线段BF的长．

[提示]先求出FC．

[答案]∵　 DE∥BC，DF∥AC， ∴　 四边形DECF是平行四边形．∴　 FC＝DE＝5 cm．

∵　 DF∥AC，∴　 ＝．即　 ＝，　　　　　 ∴　 BF＝10(cm)．

[点评]本题要求运用平行四边形判定定理和性质定理、平行线分线段成比例定理．

21．[答案]1︰4．　　 22．[答案]4︰5．