12．(2010·全国Ⅰ，25)如图4－3－14，质量分别为m和M的两个星

球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B

两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，

A和B分别在O的两侧．引力常数为G.

(1)求两星球做圆周运动的周期；

(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看　　 图4－3－14

成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T₁.但在近似处理问题时，常常

认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T₂.已知地球和月球的质量

分别为5.98×10²⁴ kg和7.35×10²² kg.求T₂与T₁两者平方之比．(结果保留3位小数)

解析：(1)设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，相互作用的引

力大小为F，运行周期为T.根据万有引力定律有F＝G①

由匀速圆周运动的规律得F＝m²r②

F＝M²R③

由题意得L＝R+r④

联立①②③④式得T＝2π ⑤

(2)在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O不在地心，月球做圆周运动的周期

可由⑤式得出

T₁＝2π ⑥

式中，M′和m′分别是地球与月球的质量，L′是地心与月心之间的距离．若认为月球

在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则G＝m′²L′⑦

式中，T₂为月球绕地心运动的周期．由⑦式得

T₂＝2π ⑧

由⑥⑧式得²＝1+

代入题给数据得²＝1.012

答案：(1)T＝2π 　(2)²＝1.012

11.如图4－3－13所示，三个质点a、b、c质量分别为m₁、m₂、M(M

≫m₁，M≫m₂)．在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿

逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比为r_a∶r_b＝1∶4，则它

们的周期之比T_a∶T_b＝________；从图示位置开始，在b运动一周

的过程中，a、b、c共线了________次．

解析：万有引力提供向心力，则G＝m₁r_a，G＝m₂r_b，　　 图4－3－13

所以T_a∶T_b＝1∶8，设每隔时间t，a、b共线一次，则(ω_a－ω_b)t＝π，所以t＝，

所以b运动一周的过程中，a、b、c共线的次数为：n＝＝＝T_b＝

－2＝14.

答案：1∶8　14

10．如图4－3－12所示，天文学家观测到某行星和地球在同一轨

道平面内绕太阳做同向匀速圆周运动，且行星的轨道半径比地

球的轨道半径小，已知地球的运转周期为T.地球和太阳中心

的连线与地球和行星的连线所夹的角叫做地球对该行星的观

察视角(简称视角)．已知该行星的最大视角为θ，当行星处于

最大视角处时，是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时

期．则行星绕太阳转动的角速度ω_行与地球绕太阳转动的角速

度ω_地的比值ω_行∶ω_地为　　　　　　　　　　　　　 (　) 　　　　图4－3－12

A.　 B.　 C. 　 D.

解析：当行星处于最大视角处时，地球和行星的连线与行星和太阳的连线垂直，三星球

的连线构成直角三角形，有sin θ＝，据G＝mω²r，得＝ ＝ ，

选项C正确．

答案：C

9.如图4－3－11所示，美国空军X－37B无人航天飞机于2010年4月

首飞．在X－37B由较低轨道飞到较高轨道的过程中　　　 (　)

A．X－37B中燃料的化学能转化为X－37B的机械能

B．X－37B的机械能要减少　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图4－3－11

C．自然界中的总能量要变大

D．如果X－37B在较高轨道绕地球做圆周运动，则在此轨道上其机械能不变

解析：在X－37B由较低轨道飞到较高轨道的过程中，必须启动助推器，对X－37B做正

功，X－37B的机械能增大，A对、B错．根据能量守恒定律，C错．X－37B在确定轨

道上绕地球做圆周运动，动能和重力势能都没有发生变化，所以机械能不变，D对．

答案：AD

8.如图4－3－10所示是我国航天工作者用电脑模拟“嫦娥二号”飞向

月球的过程简图．探月卫星发动机关闭后，轨道控制结束，卫星进入

地月转移轨道，图中MN之间的一段曲线表示转移轨道的一部分，P

是轨道上的一点，直线AB过P点且和两边轨道相切(注：地心、月

心与P点共线)．下列说法中正确的是　　　　　　　　　　 (　)

A．从M→N的运动，卫星的动能先减小后增大　　　　　　　　　　　　 图4－3－10

B．运动到P点时卫星的速度最大

C．运动到P点时卫星的加速度为0

D．运动到P点时卫星的速度方向从P→B

解析：卫星运动到P点前轨迹向地球弯曲，说明地球和月球对“嫦娥二号”的万有引力

的合力指向地球，所以M到P的运动过程，由动能定理知，动能减小，速度减小；运动

到P点后轨迹向月球弯曲，说明万有引力的合力指向月球，所以P到N的运动过程，由

动能定理知，动能增大，速度增大，可见P点时动能最小，速度最小，且速度沿过该点

的曲线的切线方向；在P点处万有引力的合力为零(由于地球质量大于月球质量，P点应

靠近月球一侧)，由牛顿第二定律知“嫦娥二号”的加速度为0.故A、C、D三项正确．

答案：ACD

7.(2011·重庆二诊)如图4－3－9所示，A为静止于地球赤道上的物体，B

为绕地球沿椭圆轨道运行的卫星，C为绕地球做圆周运动的卫星，P为

B、C两卫星轨道的交点．已知A、B、C绕地心运动的周期相同，相对

于地心，下列说法中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．物体A和卫星C具有相同大小的线速度

B．物体A和卫星C具有相同大小的加速度　　　　　　 　　　　　　　图4－3－9

C．卫星B在P点的加速度与卫星C在该点的加速度一定相同

D．卫星B在P点的线速度与卫星C在该点的线速度一定相同

解析：物体A和卫星B、C周期相同，故物体A和卫星C角速度相同，但半径不同，根

据v＝ωR可知二者线速度不同，A项错；根据a＝Rω²可知，物体A和卫星C向心加速

度不同，B项错；根据牛顿第二定律，卫星B和卫星C在P点的加速度a＝，故两卫

星在P点的加速度相同，C项正确；卫星C做匀速圆周运动，万有引力完全提供向心力，

卫星B轨道为椭圆，故万有引力与卫星C所需向心力不相等，二者线速一定不相等，D

项错．

答案：C

6．(2010·安徽理综，17)为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10

月发射第一颗火星探测器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h₁和h₂

的圆轨道上运动时，周期分别为T₁和T₂.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星

的自转影响，万有引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出　　　　　　　 (　)

A．火星的密度和火星表面的重力加速度

B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力

C．火星的半径和“萤火一号”的质量

D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力

解析：由“萤火一号”分别在两个不同的圆轨道上做匀速圆周运动可知：G＝

m²(h₁+R)；G＝m²(h₂+R)．两式联立可求得火星的质量M与火星的半

径R，由火星的半径R可求出火星的体积，进一步求出火星的密度，再根据黄金代换：

GM＝gR²，可求得火星表面处的重力加速度g，故A项对．

答案：A

5.如图4－3－8，中国在太原卫星发射中心以一箭双星方式，用“长征四号丙”

运载火箭将“遥感卫星八号”成功送入太空，搭载发射的中国首颗公益小卫

星“希望一号”也顺利进入预定的轨道．假设两颗卫星的轨道都为圆形，

“遥感卫星八号”离地面的高度为300 km，“希望一号”卫星离地面的高度

为1 200 km.已知地球半径为6 400 km.根据以上信息可知　　　　　　 (　)

A．“遥感卫星八号”与“希望一号”卫星的运行速度之比为2∶1

B．“遥感卫星八号”与“希望一号”卫星的周期之比为2∶1　　　　　　 图4－3－8

C．“遥感卫星八号”与“希望一号”卫星的向心加速度之比为5 776∶4 489

D．“遥感卫星八号”与“希望一号”卫星的向心力之比为5 776∶4 489

解析：根据G＝m＝m²r得：v＝ ，T＝ ，a＝，根据已知条

件r₁∶r₂＝67∶76，可得：v₁∶v₂＝ ，T₁∶T₂＝，a₁∶a₂＝5 776∶4 489，故

A、B两项错误，C项正确；由于不知道两卫星的质量，故无法判断两卫星受到的万有

引力之比，D项错误．

答案：C

4．地球有一个可能的天然卫星被命名为“J002E2”，这个天体是美国亚利桑那州的业余天文

爱好者比尔·杨发现的，他发现“J002E2”并不是路经地球，而是以50天的周期围绕地球

运行，其特征很像火箭的残片或其他形式的太空垃圾．由此可知“J002E2”绕地半径与月

球绕地的半径之比约为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A. 　 B. 　 C.　 D.

解析：由万有引力提供向心力有＝m₁²r₁和＝m_月²r_月，两式相比解

得：＝ ＝ ，A正确．

答案：A

3．全球定位系统(GPS)有24颗卫星分布在绕地球的6个轨道上运行，距地面的高度都为2

万千米．已知地球同步卫星离地面的高度为3.6万千米，地球半径约为6 400 km，则全

球定位系统的这些卫星的运行速度约为　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．3.1 km/s　 B．3.9 km/s　 C．7.9 km/s　 D．11.2 km/s

解析：由万有引力定律得，G＝m，GM＝rv²，即v₁＝v₂，v₂＝7.9 km/s，r₂＝

6 400 km，代入数值得，v₁≈3.9 km/s.

答案：B