16、云室处在磁感应强度为B的匀强磁场中，一静止质量为M的原子核在云室中发生一次α衰变，α粒子的质量为m，电量为q，其运动轨迹在与磁场垂直的平面内，现测得α粒子运动轨道半径为R，试求衰变过程中质量亏损.(涉及动量问题时，亏损的质量可忽略不计)

15、 如图所示，在xOy平面上，一个以原点O为中心、半径为R的圆形区域内存在着一匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，方向垂直于xOy平面向内．在O处原来静止着一个具有放射性的原子核(氮)，某时刻该核发生衰变，放出一个正电子和一个反冲核．已知正电子从O点射出时沿小x轴正方向，而反冲核刚好不会离开磁场区域，正电子电荷量为e．不计重力影响和粒子间的相互作用．(本题18分)

(1)试写出的衰变方程；(4分)

(2)求正电子离开磁场区域时的位置．(14分)

2.求解范围类极值问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围

[例6]如图，直杆上0₁0₂两点间距为L，细线O₁A长为，O₂A长为L,A端小球质量为m，要使两根细线均被拉直，杆应以多大的角速度ω转动？

解析:当ω较小时线O₁A拉直，O₂A松弛，而当ω太大时O₂A拉直, O₁A将松弛．

　　 设O₂A刚好拉直,但F_O2A仍为零时角速度为ω₁，此时∠O₂O₁A =30⁰,对小球：

在竖直方向F_O1A·cos30⁰＝mg……①

在水平方向：F_O1A·sin30⁰＝……②

由①②得

设O₁A由拉紧转到刚被拉直,F_O1A变为零时角速度为ω₂

对小球：F_O2A·cos60⁰=mg……③

F_O2A·sin60⁰=mω₂²L·sin60⁰………④

由③④得,故

[例7]一根长约为L的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴在竖直平面内转动，杆最初在水平位置。杆上距O为a处放有一个小物体B(可视为质点)。杆与其上小物体最初均处于静止状态，若此杆突然以匀角速度ω绕O轴转动，问当ω取什么值时，小物体与杆可能相碰。

[解析]杆开始转动后，两物体的运动状态分别为：A做匀速转动，B做自由落体运动。若B能与杆相碰，只可能在B下落的竖直线上，那么，杆转动的高度范围就被确定了，即如图所示的转角范围。

　　 我们分两种情况进行讨论：

(1)当杆的转速ω较小时，物体B有可能追上细杆与细杆相碰。设物体B下落到C作用的时间为t₁，杆转过Φ角所用时间为t₂，两物要能相碰，t₁和t₂就满足下列条件：t₁≤t₂…①

　　 又因为L_BC＝½gt₁²，Φ=ωt₂，由几何关系L_BC=，LcosΦ=a，所以L_BC＝½gt₁²=解得t₁=

由Φ=ωt₂=arccosα/L解得t₂=arccos(a/L)

将t_l、t₂代入①式，得 ≤arccos(a/L)解得ω≤arccos(a/L)/　　　　　　 (2)当杆的转速ω较大时，杆转过一周后有可能追上B而与物体B相碰，设杆转过中角所用的时间为t₂^/，杆要与B相碰，t₂^/和t_l必须满足下列条件：t_l≥t₂^/

由2π+Φ=ωt₂^/，所以t₂^/=(2π+Φ)=(2π+arccos(a/L))/ω代入得≥(2π+arccos(a/L))/ω，解得ω≥arccos(a/L)/

由以上分析可知，当杆转动的角速度满足：ω≤arccos(a/L)/或ω≥arccos(a/L)/时，物体B均有可能和细杆相碰。

(1)质点做匀速圆周运动是在外力作用下的运动，所以质点在做变速运动，处于非平衡状态。

(2)物体绕固定轴做匀速转动是指物体处于力矩平衡的转动状态。对于物体上不在转动轴上的任意微小质量团(可说成质点)，则均在做匀速圆周运动。

规律方法

1.圃周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点．结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程

[例1]在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴OO^/旋转，现将轻质弹簧的一端固定在圆盘中心，另一端系住一个质量为m的物块A，设弹簧劲度系数为k，弹簧原长为L。将物块置于离圆心R处，R＞L，圆盘不动，物块保持静止。现使圆盘从静止开始转动，并使转速ω逐渐增大，物块A相对圆盘始终未惰动。当ω增大到时，物块A是否受到圆盘的静摩擦力，如果受到静摩擦力，试确定其方向。

[解析］对物块A，设其所受静摩擦力为零时的临界角度为ω₀，此时向心力仅为弹簧弹力；若ω＞ω₀，则需要较大的向心力，故需添加指向圆心的静摩擦力；若ω＜ω₀，则需要较小的向心力，物体受到的静摩擦力必背离圆心。

　 依向心力公式有mω₀²R=k(R－L)，所以，故时,得ω＞ω₀。可见物块所受静摩擦力指向圆心。

[例2]如图所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，(R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR).已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱轨。试问：列车在水平轨道上应具有多大初速度V₀，才能使列车通过圆形轨道？

分析与解：列车开上圆轨道时速度开始减慢，当整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时，列车速度达到最小值V，此最小速度一直保持到最后一节车厢进入圆轨道，然后列车开始加速。由于轨道光滑，列车机械能守恒，设单位长列车的质量为m，则有：

要使列车能通过圆形轨道，则必有V>0,解得。

[例3]如图所示，细绳长为L，一端固定在O点，另一端系一质量为m、电荷量为+q的小球，置于电场强度为E的匀强电场中，欲使小球在竖直平面内做圆周运动，小球至最高点时速度应该是多大？

解析：小球至最高点时能以L为半径做圆周运动，所需向心力最小时绳子无拉力，则Mg+Eq=mv₀²/L，得，故小球在竖直平面内能够做圆周运动时，小球至最高点的速度

拓展：该题中物理最高点与几何最高点是重合的，物理最高点是在竖直平面内做圆周运动的物体在该点势能最大，动能最小，若把该题中的电场变为水平向右．如图，当金属球在环内做圆周运动时，则物理最高点为A点，物理最低点为B点，而几何最高点为C点，几何最低点为D点(这种情况下，两个最高点已不再重合，两个最低点也不再重合)．

　　 A处速度的最小值(临界速度)应满足：

　　 思考：物体恰能到达几何最高点时，绳的拉力为多少？

[例4]一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R(比细管的半径大得多)，圆管中有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质点)。A球的质量为m₁，B球的质量为m₂。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v₀。设A球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m₁，m₂，R与v₀应满足怎样的关系式?

解析：首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图所示。A球在圆管最低点必受向上弹力N₁，此时两球对圆管的合力为零，m₂必受圆管向下的弹力N₂，且N₁=N₂。

　据牛顿第二定律A球在圆管的最低点有①

　同理m₂在最高点有②

　m₂球由最高点到最低点机械能守恒③又N₁=N₂……④

[小结] 比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。

[例5]如图所示，赛车在水平赛道上作90⁰转弯，其内、外车道转弯处的半径分别为r₁和r₂，车与路面间的动摩擦因数和静摩擦因数都是μ．试问：竞赛中车手应选图中的内道转弯还是外道转弯？在上述两条弯转路径中，车手做正确选择较错误选择所赢得的时间是多少？

分析:赛车在平直道路上行驶时，其速度值为其所能达到的最大值，设为v_m。转弯时，车做圆周运动，其向心力由地面的静摩擦力提供，则车速受到轨道半径和向心加速度的限制，只能达到一定的大小．为此，车在进入弯道前必须有一段减速过程，以使其速度大小减小到车在弯道上运行时所允许的速度的最大值，走完弯路后，又要加速直至达到v_m。车道的选择，正是要根据内外道上的这些对应过程所历时间的比较来确定．

　 对于外车道，设其走弯路时所允许的最大车速为v₂，则应有mv₂²/r₂=μmg解得v₂=

　　 如图所示，设车自M点开始减速，至N点其速度减为v₂，且刚好由此点进入弯道，此减速过程中加速度的大小为a=μmg/m=μg

此减速过程中行驶的路径长度(即MN的长度)为x₂==－

车沿弯道到达A点后，由对称关系不难看出，它又要在一段长为x₂的路程上加速，才能达到速度v_m。上述过程所用的总时间为

t₂=t_减速+t_圆弧+t_加速=++=－(2－)

同样的道理可以推得车走内车道所用的总时间为t₁=－(2－)

另一方面，对内车道和外车道所历路程的直线部分进行比较，由图可见，车往内车道多走了长度　　 ΔL＝ r₂－ r_l

同时，在直线道上车用于加速和减速的行程中，车往内道也多走了长度

　 Δx=2x₁－2x₂= r₂－ r_l

由于上述的ΔL和Δx刚好相等，可见车在直道上以v_m匀速行驶的路程长度对于内外两道来说是相等的．这样，为决定对内外道的选择，只需比较上述的t₁和t₂即可由于 t₂＜t₁，显然，车手应选择走外道，由此赢得的时间为

　　　　　 Δt=t₁一t₂=

2.特例(1)如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：

注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力　　

①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv²/R→v_临界=(可理解为恰好转过或恰好转不过的速度)

注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度V_临≠　　

②能过最高点的条件：v≥，当V＞时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．

③不能过最高点的条件：V＜V_临界(实际上球还没到最高点时就脱离了轨道)

(2)如图(a)的球过最高点时，轻质杆(管)对球产生的弹力情况：

注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力．

①当v＝0时，N＝mg(N为支持力)

②当 0＜v＜时， N随v增大而减小，且mg＞N＞0，N为支持力．

③当v=时，N＝0

①　　　 当v＞时，N为拉力，N随v的增大而增大(此时N为拉力，方向指向圆心)

注意：管壁支撑情况与杆子一样

　　 若是图(b)的小球，此时将脱离轨道做平抛运动．因为轨道对小球不能产生拉力．

注意：如果小球带电，且空间存在电场或磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力等于向心力，此时临界速度 。要具体问题具体分析，但分析方法是相同的。

1.圆周运动中的临界问题的分析方法

　　 首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值．

9.如图所示，将一根光滑的细金属棒折成V形，顶角为2，其对称轴竖直，在其中一边套上一个质量为m的小金属环P，

(1)若固定V形细金属棒，小金属环P从距离顶点O为 x的A点处由静止自由滑下，则小金属环由静止下滑至顶点O点时需多少时间？

(2)若小金属环P随V形细金属棒绕其对称轴以每秒n转匀速转动时，则小金属环离对称轴的距离为多少？

解：(1)设小环沿棒运动的加速度为a，由牛顿第二定律得

　 　①　 (2分)

　　　 由运动学公式得

　　 　②　 (2分)

由①②式得小环运动的时间　 ③　 (1分)　　　　　

　 (2)设小环离对称轴的距离为r，由牛顿第二定律得

　　 　　④　 (2分)

　　 　⑤　 (2分)

由④⑤式得 ⑥ (1分)

8.如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r，物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同.物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能随盘转动.

解析：A随盘转动时，A受到的摩擦力、绳子的拉力的合力提供向心力，所以

转速较大时有　 ∴

转速较小时有∴

综上所述

7.绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳长L=60cm，求：

⑴在最高点水不流出的最小速率?

⑵水在最高点速率v=3m/s时，水对桶底的压力?

[解析](1)在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力.即： mg≤mv₀²/R

则所求最小速v₀===2.42m/s.

⑵当水在最高点的速率大于v₀时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的压力，设为F_N，由牛顿第二定律有F_N+mg=mv²/R，F_N=mv²/R-mg=2.6N由牛顿第三定律知，水对桶底的作用力F_N’=F_N=2.6N，方向竖直向上

6.如图所示，A到OO^’的距离为R，B到OO^’的距离为2R，A、B用轻绳连接可沿CD杆滑动，已知m_A=m_B=m，杆CD对物体A、B的最大静摩擦力均为F_m，要保持A、B相对静止，求装置绕OO′轴转动的最大角速度.

[解析]A、B分别绕同一点(OO’与AB的交点)做匀速圆周运动，由于做匀速圆周运动的半径不一样，所需的向心力不一样，当物体A、B将要滑动时，A、B两物体受的摩擦力都要达到最大静摩擦力，在此临界状态，物体仍在做匀速圆周运动.整个装置绕OO’轴转动时，B拉着A将要向右滑动时，角速度最大，此时，A、B除受竖直方向的重力和支持力外，水平方向均受到向左的最大静摩擦力F_m，设绳的拉力为F，则对A：F-F_m=mω²R　　 ①

对B：F+F_m=mω²2R　　　　　　　　　　　　 ②

②式一①式得2F_m=mω²R

则装置转动的最大角速度为：ω=.