原理:天体对它的卫星(或行星)的引力就是卫星绕天体做匀速圆周运动的向心力.

   G=mr,由此可得:M=;ρ===(R为行星的半径)

由上式可知,只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r及运行周期T,就可以算出天体的质量M.若知道行星的半径则可得行星的密度

规律方法

1、万有引力定律的基本应用

[例1]如图所示,在一个半径为R、质量为M的均匀球体中,紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2的球形空穴后,对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大?

分析  把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和,即可得解.

解  完整的均质球体对球外质点m的引力

这个引力可以看成是:m挖去球穴后的剩余部分对质点的引力F1与半径为R/2的小球对质点的引力F2之和,即F=F1+F2.因半径为R/2的小球质量M/

所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力

说明  (1)有部分同学认为,如果先设法求出挖去球穴后的重心位置,然后把剩余部分的质量集中于这个重心上,应用万有引力公式求解.这是不正确的.万有引力存在于宇宙间任何两个物体之间,但计算万有引力的简单公式却只能适用于两个质点或均匀球体,挖去球穴后的剩余部分已不再是均匀球了,不能直接使用这个公式计算引力.

(2)如果题中的球穴挖在大球的正中央,根据同样道理可得剩余部分对球外质点m的引力

上式表明,一个均质球壳对球外质点的引力跟把球壳的质量(7M/8)集中于球心时对质点的引力一样.

[例2]某物体在地面上受到的重力为160 N,将它放置在卫星中,在卫星以加速度a=½g随火箭加速上升的过程中,当物体与卫星中的支持物的相互压力为90 N时,求此时卫星距地球表面有多远?(地球半径R=6.4×103km,g取10m/s2)

解析:设此时火箭上升到离地球表面的高度为h,火箭上物体受到的支持力为N,物体受到的重力为mg/,据牛顿第二定律.N-mg/=ma……①

在h高处mg/……②   在地球表面处mg=……③

把②③代入①得     ∴=1.92×104  km.

说明:在本问题中,牢记基本思路,一是万有引力提供向心力,二是重力约等于万有引力.

[例3]有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期是T0。当气球停在某一高度时,测得该单摆周期为T。求该气球此时离海平面的高度h。把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体。

解析:根据单摆周期公式:其中l是单摆长度,g0和g分别是两地点的重力加速度。根据万有引力公式得其中G是引力常数,M是地球质量。

由以上各式解得

[例4]登月火箭关闭发动机在离月球表面112 km的空中沿圆形轨道运动,周期是120.5 min,月球的半径是1740 km,根据这组数据计算月球的质量和平均密度.

解析:设月球半径为R,月球质量为M,月球密度为ρ,登月火箭轨道离月球表面为h,运动周期为T,火箭质量为m,由GMm/r2=m4π2r/T2得M=4π2r3/(GT2),ρ=M/V,其中V=4π2R3/3,则F=mω2r=m4π2(R+h)/T2,F=GMm/(R+h)2,火箭沿轨道运行时有F=F,即GMm/(R+h)2= m4π2(R+h)/T2

故M=4π2(R+h)3/(GT2)2=7.2×1022kg,ρ=3M/4πR3=3.26×103kg/m3

[例5]已知火星上大气压是地球的1/200.火星直径约为球直径的一半,地球平均密度ρ=5.5×103kg/m3,火星平均密度ρ=4×103kg/m3.试求火星上大气质量与地球大气质量之比.

分析  包围天体的大气被吸向天体的力.就是作用在整个天体表面(把它看成平面时)的大气压力.利用万有引力算出火星上和地球上的重力加速度之比,即可算出它们的大气质量之比.

解  设火星和地球上的大气质量、重力加速度分别为m、g、m、g,火星和地球上的大气压分别为据万有引力公式,火星和地球上的重力加速度分别为

综合上述三式得

[例6]一个宇航员在半径为R的星球上以初速度v0竖直上抛一物体,经ts后物体落回宇航员手中.为了使沿星球表面抛出的物体不再落回星球表面,抛出时的速度至少为多少?

解析:物体抛出后,受恒定的星球引力作用,做匀减速运动,遵循着在地面上竖直上抛时的同样规律.设星球对物体产生的“重力加速度”为gx,则由竖直上抛运动的公式得为使物体抛出后不再落回星球表面,应使它所受到的星球引力正好等于物体所需的向心力,即成为卫星发射了出去。这个速度即是这个星球上发射卫星的第一宇宙速度。

[例7]在“勇气”号火星探测器着陆的最后阶段,着陆器降落到火星表面上,再经过多次弹跳才停下来。

假设着陆器第一次落到火星表面弹起后,到达最高点时高度为h,速度方向是水平的,速度大小为v0,求它第二次落到火星表面时速度的大小,计算时不计大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道半径为r,周期为T。火星可视为半径为r0的均匀球体。

分析:第一次落到火星表面弹起在竖直方向相当于竖直上抛,在最高点由于只有水平速度故将做平抛运动,第二次落到火星表面时速度应按平抛处理。无论是竖直上抛还是平抛的计算,均要知道火星表面的重力加速度g/。利用火星的一个卫星的相关数据可以求出g/

解:设火星的一个卫星质量为m,任一物体的质量为m/,在火星表面的重力加速度为g/,火星的质量为M。

任一物体在火星表面有:……①    火星的卫星应满足:……②

第一次落到火星表面弹起在竖直方向满足:v12=2g/h……③

第二次落到火星表面时速度应按平抛处理:……④

由以上4式可解得

8.我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息,让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M和m,地球和月球的半径分别为R和R1,月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1,月球绕地球转动的周期为T。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面,求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间(用M、m、R、R1、r、r1和T表示,忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响)。

[解析]:如下图所示:

O分别表示地球和月球的中心.在卫星轨道平面上,A是地月连心线与地月球表面的公切线ACD的交点,DCB分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星轨道的交点.过A点在另一侧作地月球面的公切线,交卫星轨道于E点.卫星在圆弧上运动时发出的信号被遮挡.

设探月卫星的质量为m0,万有引力常量为G,根据万有引力定律有:

                   ①   (4分)

                  ②   (4分)

②式中,T1表示探月卫星绕月球转动的周期.

由以上两式可得:            ③

设卫星的微波信号被遮挡的时间为t,则由于卫星绕月球做匀速圆周运动,

应有:         ④   (5分)

上式中

由几何关系得:       ⑤   (2分)

           ⑥    (2分)

由③④⑤⑥得:

    ⑦   (3分)

 0  138636  138644  138650  138654  138660  138662  138666  138672  138674  138680  138686  138690  138692  138696  138702  138704  138710  138714  138716  138720  138722  138726  138728  138730  138731  138732  138734  138735  138736  138738  138740  138744  138746  138750  138752  138756  138762  138764  138770  138774  138776  138780  138786  138792  138794  138800  138804  138806  138812  138816  138822  138830  447348 

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