9．如图所示，图A(a)中A、B是真空中相距为d的两平行金属板，在t＝0时加上图(b)所示的交变电压，使开始时A板电势高于B板，这时在紧靠B板处有一初速为零的电子(质量为m，电量为e)在电场力作用下开始运动，欲使电子到达A板时具有最大的动能，则所加交变电压频率的最大值是多少？

f_m=

解析：图(b)中所示交变电压幅值不变，则金属板间电场强度大小不变，带电粒子所受电场力大小不变，只有方向做周期性变化。

欲使电子到达A板时速度是最大，须使电子从B板到A板的过程中一直加速，设电子由B板一直加速到A板所用时间为t　，则

d=at²=t²　 → t=

当＝t＝时　T为最小值，

则T_min=2d

由f=　 得 f_max= .

8．在光滑的水平面上，有A、B两个物体，它们的质量分别为m_A＝4kg，m_B＝1kg，B物体与一轻弹簧相连，如图所示。若A、B分别具有动能E_A、E_B，且E_A+E_B＝100J，问E_A、E_B各应为多少时，碰撞过程中弹簧的最大压缩量才能达到最大。

A、B相向运动且E_A＝20J，E_B＝80J

解析：在碰撞过程中，当A、B两物体的速度相等时，弹簧的压缩量最大，此时弹簧的弹性势能最大，系统的动能最小。

设碰前A的速度为v_A，B的速度为v_B

若碰前A、B两物体运动方向相同，达共同速度时的速度为v_AB，根据动量守恒定律有

m_Av_A+m_Bv_B=(m_A+m_B)v_AB

则碰后系统的总动能为E_AB=(m_A+m_B)v_AB²=…………①

若碰前A、B两物体运动方向相反，由动量守恒得

m_Av_A-m_Bv_B=(m_A+m_B)v_AB

则碰后系统的总动能为E_AB=(m_A+m_B)v_AB²=…………②

比较①②式可知，②式中当m_Av_A= m_Bv_B时,E_AB=0, 即E_AB取得最小值，此时弹性势能达最大。

可知m_Av_A= m_Bv_B …………③

又m_Av_A²+m_Bv_B²=100　　　　　　　　　 …………④

③④联立并将m_A=4kg, m_B=1kg代入解得v₁=m/s, v₂=4 m/s

∴ E_A=20J ，E_B=80J

即两物体以大小相等，方向相反的动量相碰时，当弹簧压缩量最大时，速度为零，动能全部转化为弹性势能。

7．如图所示，水平地面上停放着A、B两辆小车，质量分别为M和m，M＞m，两车相距为L。人的质量也为m，另有不计质量的一根竹杆和一根细绳。第一次人站在A车上，杆插在B车上，第二次人站在B车上，杆插在A车上。两种情况下，人用同样大小的力拉绳子，使两车相遇。设阻力可忽略不计，两次小车从开始运动到相遇的时间分别为t₁和t₂，则　(　　)

A.t₁＞t₂B.t₁＜t₂　

C.t₁＝t₂D.条件不足，无法判断

B

解析：当人用力拉绳子时，两小车均做匀加速运动，设人的拉力大小为F。

解法一：当人站在A车拉绳子时，A车的加速度大小为a_A=，B车的加速度大小为a_B=,设相遇时A车运动的位移大小为，B车的位移大小为则

= a_At₁²= t₁² ………………①

=a_Bt₁²=t₂² ………………②

而+=　　　　　　 ……………………③

由①②③得t₁= ………………④

当人站要B车上拉绳子时a_A=,a_B=同理可得

=+= a_At₂²+ a_Bt₂²= t₂²+ t₂²

即t₂=　　　 ………………⑤

比较④⑤,由于M＞m，则M+m＜2M, 知t₁＜t₂

解法二：第一次人站在A车上拉绳子，设拉力大小为F，则

A车加速度大小　a_A=,B车加速度大小 a_B=

则A车相对B车加速度大小为　 a_相＝a_A+a_B＝+＝

第二次人站在B车上，拉力大小仍为F，则

A车加速度大小=，B车加速度大小 =

于是A车相对B车加速度大小为=+=+=由于M>m，容易看出a_相>

由= a_相t₁² 及 = t₂²

解得t₁＜t₂.

解法三：采用极限法分析。由于题设条件M＞m，假设M→∞，则前后两种情况下A车不动，只需考虑B车的运动。

第一次人站在A车上用F力拉绳子，则B车加速度大小为

a_B=

第二次人站在B车上用F力拉绳子，则B车加速度大小为

a_A=

显然a_B > a_A，所以t₁＜t₂。

6．如图所示，一辆有圆弧的小车停在粗糙的水平地面上，质量为m的小球从静止开始由车顶无摩擦地滑下，在小球下滑过程中小车始终保持静止状态，求：

⑴当小车运动到什么位置时，地面对小车的静摩擦力最大？

⑵地面对小车静摩擦力的最大值为多少？

⑴小球与圆心O连线与竖直方向夹角为45⁰ ⑵

解析：设圆弧半径为R，当小球运动到支持力N与竖直方向的夹角为θ时，速度为v，此时小球受力如图甲所示，由牛顿第二律及圆周运动知识知：

N-mgcosθ=m……①

由机械能守恒定律得：

mgRcosθ＝mv²……②

联立①②解得：N＝3mgcosθ……③

小车受力如图乙所示，由平衡条件知，车所受地面的摩擦力 f=N·sinθ，将③式入得f=3mgcosθ·sinθ=mgsin2θ,当θ＝45⁰时，sin2θ＝1最大。

则可得静摩擦力的最大值为mg。

0.4N

解析：欲使推力最小，应满足撤去推力后，米尺继续向前滑行，至米尺的中心恰好到桌边时，米尺的速度为零。

设最小的水平推力为F_m，1s内米尺的位移为s₁，1s末米尺的速度为v，以运动方向为正，有

F_m-μmg=ma₁ → a₁=-μg

s₁=a₁t₁²=(-μg)×1²=(-μg)

v=a₁t=(-μg)·1=-μg

撤去推力后，米尺在摩擦力作用下向前减速滑行了位移S₂时速度减为零，有

-μmg=ma₂　 →　 a₂₌-μg=-1.6m/s²

0－v²=2a₂s₂　 →　 s₂==

由题意知：s₁+s₂=0.25m，则有：

(-μg)+=0.25

代入数据并整理得：+＝0.25

即+1.6()－0.8＝0

设y=，则上式可化为：y²+1.6y－0.8=0

解得y=0.4

可知: =0.4　即 F_m=0.4N

错解分析：有人用F－μmg＝ma，得出a＝－μg，再用s=at²=(-μg)t²，将s=0.25m、m=0.2kg、μ=0.16、t=1s代入解得F=0.42N。其错误原因是使米尺在1s内一直加速并当尺的重心到桌边时有最大速度。

5．一根质量为0.2kg，粗细均匀的米尺放在水平桌面上，它与桌面的动摩擦因数为0.16，开始时，尺子有露出桌边。今用一水平推力作用1s时间，使尺从桌边掉下，g取10m/s²,问水平推力至少多大？

4. 如图所示，A船从港口P出发，拦截正以速度v₀沿直线航行的船B，P与B所在的航线的垂直距离为a，A船起航时，B与P的距离为b，且b＞a，如略去A船起动时的加速过程，认为它一起航就做匀速运动，求A船能拦到B船所需的最小速度v。

v_min=v₀ ， 运动方向应与A、B两船开始时位置的连线垂直。

解析：

方法一：设A船的速度为v，运动方向与PO的夹角α，由两船运动的时间相等并结合图示的几何关系得

　　 =

　　 =

　　 设tanβ=,则上式为v=

显然，当α+β=90°时，A船的速率最小，最小值为v_min=v₀。结合图示得到：A船的运动方向应与A、B两船开始时位置的连线垂直。

方法二：设A船的速度为v，运动方向与A、B连线的夹角α，由两船运动的时间相等并结合正弦定理得

由于∠ABC及v₀为定值，只有当α=90°时，A船的速率最小，此时，最小值为v_min= v₀sin∠ABC=v₀。

方法三：以B船为参照物，欲使A船能拦截到B船，A船应正对B船运动，即A船相对于B船的速度方向应由A指向B。

由于大地相对于B的速度为v₀，方向与B船相对于地面的速度方向相反，设A船相对于B船的速度v_合，大地对B的速度为v₀，A对地的速度为v，满足=+，由图可看出，只有当v与v_合方向垂直时，v才最小。

由sinθ==

解得v_min=v₀

3．质量为10㎏的物体在倾角为30⁰的斜面上恰能匀速下滑。欲使该物体产生大小为a=，方向沿斜面向上的加速度，需对物体施加一个拉力，求推力F的最小值F_min为多少？

F_min=129.9N　　 方向与斜面成30⁰角斜向上。

解析：由物体沿斜面匀速下滑，可知动摩擦因数µ=tan30⁰ =。

当物体以a=沿斜面向上做匀加速运动时，物体受四个力：重力㎎ 、支持力N、摩擦力ƒ和推力F，其合力F_合=ma =㎎.设摩擦力ƒ和支持力N的合力为F₁，则F₁与N的夹角为θ= arc tanµ=30⁰,做出物体的受力矢量图，如图所示。

从图可看出，重力㎎、F₁与拉力F的合力为F_合。由于㎎、F_合大小方向一定,而F₁的方向一定，只有当F与F₁垂直时推力F才最小。

∵∠DAB=60⁰　　　 ∠BDA=∠ODC=30⁰

∴ ∠OCD=30⁰　　　 OD=OC=㎎　　　 DA=㎎

则F_min= ㎎cos30⁰ +2 ㎎cos30⁰ =㎎cos30⁰ =129.9N

2．质量为m的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数μ= ，当物体在地面上做匀速直线运动时，需要加一个外力F，此力的最小值为多少？方向如何？

㎎.

解析：

(1)用函数法求解：设所加的拉力F与水平方向的夹角为θ，受力如图所示。则

F cosθ-μ(㎎-Fsinθ)=0.

即F=　　　　 而μ==tan30⁰

则 F===

当θ=30⁰　 F最小，最小值为F_min=μ㎎cos30⁰ =㎎.

(2)用图解法求解：物体相对地面滑动时，满足摩擦定律ƒ=µF_N。　 即µ=。设ƒ与N的合力为F₁，则不论支持力N如何变化，摩擦力ƒ与支持力N的比值µ不变， 如图所示中的θ不变。题中tanθ= µ =，θ　　　 =30⁰ .

本题中物体的受力可做如下等效变化：重力㎎、支持力与摩擦力的合力

F₁、拉力F，如图所示：

由于F₁与F的合力F₂总与㎎等大反向且F₁的方向不变，由矢量三角形OFF₂可得：只有当F与F₁垂直时，F才最小。

F _min=F₂sinθ=㎎,　 且F与水平方向的夹角为θ=30°。

1．如图所示，一条平直的河流宽为80m，河水流速为8 m/s，一人驾驶一动力渔船，欲从河岸的A点渡河到对岸 ，已知在A点的下游60 m处有一与河岸垂直的瀑布，人欲安全渡河，渔船的最小划行速度为多少？

船速大小为6.4m/s ，方向与河岸成θ=37⁰

解析：如图所示，欲使船安全渡河，则船在河中合速度v的极限方向是指向瀑布边缘与对岸的交点B，由于v是水流速v₀与船速v₁的合速度，由速度矢量三角形Av₀C可知，只有v₀C与AB垂直，即船速v₁与AB垂直时v₁才最小。

设 v₁与河岸夹角为θ，则

　　 v₁=v₀cosθ

而在ΔABD中cosθ=

将v₀=8m/s　　 BD=80m　　 AD=60m 　代入解得

v₁=6.4m/s　　　 θ=37⁰